مشتق پذیری و پیوستگی

فرض کنیم تابعی از x باشد. اگر حد dy/dx=f´ (x) = lim f(x+Δx)-f(x) / Δx وقتی که Δx به سمت صفر میل می کند، موجود و متناهی باشد، این حد را مشتق f در x می‌نامیم و می‌گوییم f در x مشتق پذیر است.

تاریخچه

ریاضیدانان اوایل قرن هیجدهم ویژگیهای توابع پیوسته یا خوش رفتار را به این دلیل مطالعه می‌کردند که نشان دهند اگر یک خم نقاطی در دو طرف یک خط داشته باشد، آن خط و خم مسلما یکدیگر را قطع می‌کنند. ولی در نیمه دوم آن قرن ، مسائلی مطرح شد که با توابع پیچیده‌تر سر و کار داشتند و باعث شدند که ریاضیدانان توجه خود را به ویژگی اساسی پیوستگی معطوف کنند. در سال 1787 ، آکادمی سن پترزبورگ مسابقه‌ای برای نوشتن مقاله‌ای درباره این مسأله که ترتیب داد:

"آیا توابع دلخواهی که با انتگرال گیری از معادلات سه یا چند متغیره بدست می‌آیند هر گونه خم یا رویه ، اعم از جبری ، متعالی ، مکانیکی ، ناپیوسته و حاصل از حرکت آزادانه دست ، را نشان می‌دهند؛ یا اینکه این توابع فقط شامل خمهایی هستند که به سوی یک معادله جبری یا متعالی نشادن داده می‌شوند؟" جایزه این مسابقه را ریاضیدان نسبتا گمنام ال. الف . ای اربوگاست بود. او ویژگیهای بنیادی توابع پیوسته را بیان کرد. این ویژگیها بعدا در آثار بوستانو و آگوستین لویی کوشی دوباره مطرح شد، هر چند این دو نفر اطلاعی از کار بوگاست نداشتند.

مقدمه

تابعهای مشتق پذیر ، پیوسته‌اند. اگر تابعی چون C مشتقپذیر باشد، در این نقطه پیوسته هم هست. یعنی اگر در C دارای مشتق (f´ (c باشد ، آنگاه f در x=C پیوسته است. برای اثبات این مطلب باید نشان دهیم حد وقتی که x به سمت صفر میل می کند برابر می باشد. به هعمیت دلیل اگر مشتق (f´ (c را توسط تعریف مشتق بدست آوریم، زمانی که x ----> C آنگاه مخرج کسر به صفر میل می‌کند. بنابراین اگر قرار باشد حد مذکور متناهی باشد صورت کسر یعنی (f(x) - f(C نیز باید به صفر میل کند و این بدان معنی است که به سمت میل کند و این همان دلیل پیوستگی f می‌باشد.

البته باید توجه داشته باشیم که گر چه مشتقپذیری پیوستگی را ایجاب می‌کند ولی پیوستگی ، مشتق پذیری را ایجاب نمی‌کند. بنابراین نتیجه پیوستگی از روی مشتق پذیری مثل یک جاده یکطرفه است که حرکت در جهت عکس خلاف است، به این معنی که شاید صحیح و سلامت به مقصد برویم ولی این یک شانس خواهد بود. برای مثال تابع قدر مطلق که در x=0 پیوسته است، ولی این تابع در x=0 مشتق ندارد زیرا در این نقطه نمی‌توانیم مماس برای تابع رسم کنیم.

چرا توابع مشتق پذیر ، پیوسته‌اند؟

به نظر شما چه جوابی به این سؤال مهم می‌توان داد؟ بگذارید تعاریف مشتق پذیری و پیوستگی را یک بار دیگر اما این بار شهودی تر بررسی کنیم. ما نمودار تابعی چون f را در بازه (a , b) وقتی هموار می‌گوئیم که در هر نقطه درون این بازه بتوان فقط یک خط مماس بر منحنی نمودار f رسم کرد که موازی محور yها نباشد. از تعریف پیوستگی می‌دانیم که منحنیهای هموار توابعی پیوسته هستند. بنابراین توانستیم با یک بررسی ساده اما دقیق پاسخ این پرسش را بدهیم. پاسخ دیگری که به این سؤال می‌توان داد این است که مشتق دارای ویژگی مقدار میانی است.

اگر f در هر نقطه از یک بازه بسته {a , b} دارای مشتق باشد آنگاه (f´ (x هر مقدار بین (f´ (a و (f´ (b را اختیار می‌کند. توابع پیوسته هم این خاصیت را دارند بطوری که اگر f در هر نقطه از بازه بسته {a , b} پیوسته باشد و N عددی بین (f(a و (f(b باشد ، آنگاه دست کم یک نقطه c بین a , b وجود دارد که در آن نقطه f مقدار N را اختیار می‌کند.

یک تابع در چه نقاطی مشتق پذیر نیست؟

  1. یک تابع در نقطه‌ای چون x0 مشتق پذیر نیست هرگاه در x0 پیوسته نباشد.

  2. تابع f در نقطه‌ای که دو خط مماس بر منحنی f وجود داشته باشد مشتق پذیر نیست. مثل نقاطی که تابع به ازای آنها زاویه دار می‌شود.

  3. در نقاطی که خط مماس محور y ها باشد تابع f در آن نقاط مشتق پذیر نیست.

یک تابع در چه نقاطی پیوسته نیست؟

  1. تابع f در نقطه‌ای چون x0 ، حد نداشته باشد.

  2. تابع f در نقطه‌ای چون x0 حد داشته باشد ولی این حد با مقدار از تابع ، (f(x0 برابر نباشد.

  3. تابع f در نقطه‌ای چون x0 تعریف نشده باشد. هر چند دارای حد باشد با این همه پیوسته نیست.

کاربردها

کاربرد بسیار ارزنده مطالب فوق این است که هرگاه تابع f در بازه بسته {a , b} پیوسته و در بازه با (a , b) هموار باشد، آنگاه تابع f در بازه باز (a , b) مشتق پذیر است.


مباحث مرتبط با عنوان

  • مطلب از: آیدا سلیم نژاد
تعداد بازدید ها: 103255