مقدمه
در
حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیه‌ای به اندازه
قضیه مقدار میانگین و تعمیم‌هایش اهمیت دارد. صورت این قضیه چنان ساده است که در بدو امر کسی متوجه اهمیت نتایج عمده آن و اهمیتی که دارد نمی‌شود. راه ورود به قضیه مقدار میانگین
قضیه رول است. که صورت اولیه قضیه مقدار میانگین می‌باشد.
قضیه رول
فرض کنید که (y=f(x در هر نقطه از بازه {a,b} پیوسته و در هر نقطه از بازه باز (a,b)
مشتق پذیر باشد. اگر:
f(a) = f(b) = 0
آنگاه دست کم یک نقطه مانند c بین b,a وجود دارد که در آن:
f '(c) = 0
اثبات قضیه رول
می‌دانیم
تابع پیوسته‌ای که بر بازه بسته‌ای تعریف شده باشد بر آن بازه مقادیر ماکسیمم و مینیمم خود را می‌گیرد و نیز می‌دانیم که این مقادیر به ازای نقاط انتهایی و نفاط بحرانی بدست می‌آیند. در مورد تابع مورد نظر ما این نقاط عبارت‌اند از نقاط انتهایی و آن نقاط داخلی که به ازای آنها 'f صفر است. پس اگر f در یک نقطه داخلی مانند c ماکسیمم یا مینیمم شود آنگاه f '(c)=0. اگر این تابع به ازای نقاط انتهایی هم ماکسیمم شود و هم مینیمم ، آنگاه صفر هم مقدار ماکسیمم و هم مقدار مینیمم تابع f است. بنابراین به ازای تمام x های موجود در
a,b ، f(x) و 'f به ازای همه مقادیر (a,b) صفر است، زیرا f ثابت است. در هر حال ، در (a,b) دست کم یک نقطه می‌یابیم که در آن ' f صفر است.
قضیه رول از نگاه هندسی
شواهد هندسی ممکن در دست است که اگر خم همواری محور x را در دو نقطه قطع کند، در این صورت نقطه‌ای روی خم بین آن دو نقطه وجود دارد که در آن مماس بر خم افقی است. شما می‌توانید با رسم نمودار یک تابع که محور x ها را در دو نقطه متفاوت قطع کرده است، صحت این قضیه را بررسی کنید.
نکته
مشتق پذیر بودن f بر (a,b) اساس قضیه رول است. اگر ' f حتی در یک نقطه وجود نداشته باشد ممکن است خم این تابع هیچ مماس افقی نیز نداشته باشد.
کاربرد قضیه رول
استفاده اصیلی که رول (1652- 1719) از قضیه خود کرد این بود که نشان داد بین هر دو ریشه یک چندجمله‌ای ، همیشه ریشه‌ای از مشتق آن چند جمله‌ای وجود دارد. ناگفته نماند که
میشل رول به حساب دیفرانسیل و انتگرال اعتماد نداشت، و با صرف وقت و انرژی زیاد کوشید استفاده از آن را تقبیح نماید. او در کارهایش تنها از جبر و هندسه استفاده کرد و جالب است که امروزه به خاطر کاری معروف است که ناخود آگاه در زمینه حساب دیفرانسیل و انتگرال انجام داده است. صورتی از قضیه رول که در بالا ذکر شد به چند جمله‌ای‌ها محدود نمی‌شود، این قضیه حاکی است که بین ریشه‌های یک تابع مشتق پذیر می‌توان ریشه‌ای برای مشتقش یافت. این اطلاع ، نتیجه تعجب آور و مفیدی دارد. فرض کنید:
- f بر بازه بسته {a,b} پیوسته و بر (a,b) مشتق پذیر باشد؛
- (f(a و (f(b علامتهای مختلفی داشته باشند؛
- ' f هرگز در بین b,a صفر نشود.
آنگاه f بین b,a دقیقا یک ریشه دارد. اگر f بیش از یک ریشه داشته باشد، 'f هم مجبور است یک ریشه داشته باشد.
مباحث مرتبط با عنوان