|
تعریف
هر عبارت به صورت
را یک سری نامتناهی (یا به طور ساده) یک سری می‌نامیم.
هر یک از اعداد
را یک جمله این سری نامیده و مجموعهای متناهی
و به طور کلی
را مجموعهای جزئی اول، دوم، سوم و nام سری
می‌گوییم. همچنین دنباله
را دنباله مجموعهای جزئی سری می‌نامیم.
همگرایی سریها
فرض می‌کنیم یک سری و 
دنباله مجموعهای جزئی آن باشد. در این صورت ، اگر دنباله همگرا باشد، یعنی 
وجود داشته باشد، سری را همگرا و S را مجموع آن می‌نامیم. در غیر اینصورت سری را واگرا می‌گوییم.
شرط لازم همگرایی
اگر سری همگرا باشد، وقتی که 
، جمله عمومی آن به سوی صفر می‌گراید.
آزمون واگرایی
اگر
، یا وجود نداشته باشد، آنگاه سری واگراست.
سری هندسی
هر سری به صورت
را که در آن r,a اعدادی حقیقی هستند و
، می‌نامیم. a را جمله اول، r را قدر نسبت این سری هندسی می‌گوییم.
ویژگیهای سری هندسی
سری هندسی دارای ویژگی های زیر است:الف) اگر
، این سری همگرا است و مقدار سری هندسی برابر است با 
، این سری واگراست.
قضایای مهم در سریها
- اگر
و 
دو سری همگرا باشند، آنگاه
همگرا است و 
.
ب) اگر C عددی حقیقی باشد، آنگاه
همگرا است و 
واگرا و سری 
همگرا باشد. در این صورت:
الف) سری
واگراست.
ب) اگر C عددی ناصفر باشد، آنگاه سری
واگراست.
از این دو قضیه می‌توان دو نتیجه به دست آورد:
نتیجه1) ضرب هر جمله سری در ثابتی غیر صفر تاثیری در همگرایی یا واگرایی سری ندارد.
نتجه2) حذف (یا جمع) یک تعداد متناهی از جملات سری تاثیری در همگرایی یا واگرایی سری ندارد.
آزمون انتگرال
فرض می‌کنیم
یک سری و f یک تابع باشد که به ازای
نامنفی، پیوسته و کاهشی است و به ازای 
، 
در این صورت:
الف) سری
همگرا است اگر انتگرال ناسره
واگرا است اگر 
و دو سری باشند به طوری که به ازای هر n ،
و , 
، اگر 
باشد در این صورت:
الف) اگر L>0 باشد، آنگاه یا هر دو سری همگرا یا هر دو واگرا هستند.
ب) اگر L=0 و
همگرا باشد، آنگاه نیز همگرا است.
ج) اگر
و اگرا باشد، آنگاه واگراست.
سری متناوب
می‌گویند یک سری عددی متناوب است، هرگاه علامت جملات آن به طور متناوب مثبت و منفی باشد.آزمون لایبنیتز
اگر در سری متناوب
قدرمطلق هر جمله از قدرمطلق جمله قبل کوچکتر و حد دنباله در nای که به بینهایت میل می‌کند برابر صفر باشد، سری همگراست و مجموع آن عددی مثبت و کوچکتر از جمله اول سری است.
همگرایی مطلق و مشروط
- اگر سری
همگرا باشد، می‌گوییم که سری همگرای مطلق است.
- اگر سری همگرا ولی واگرا باشد (یعنی این سری همگرا، همگرای مطلق نباشد) آنگاه می‌گوییم که سری همگرای مشروط است.
سریهای مختلط
سریهایی که جملات آنها اعداد مختلط هستند به صورت زیر تعریف می‌شوند:
اعمال روی سریها
جمع سریها
اگر دو سری 
به جملات حقیقی یا مختلط همگرا باشند، و مجموع آنها را به ترتیب با A و B نمایش دهیم، آنگاه سری که جمله عمومی آن 
است همگرا و مجموع آن برابر A+B می‌باشد.
ضرب سریها
اگر دو سری با جملات حقیقی یا مختلط همگرایی مطلق باشند، و مجموع آنها را به ترتیب با A و B نمایش دهیم، آنگاه سری 
همگرای مطلق است و مجموع آن برابر است با AB.