|
مقدمه
یکی از جواب‌های
تابع نمایی 
است که یکی از توابع موسوم به توابع متعالی است. و بطور کلی علاوه بر توابع نمایی توابعی چون توابع لگاریتمی ، شش تابع مثلثاتی ، توابع معکوس مثلثاتی نیز متعالی می‌باشند. نام متعالی را اویلر برای توصیف اعدادی انتحاب کرد که ریشه یک معادله چندجمله‌ای نیستند. اویلر می‌گوید که این اعداد "متعالی‌تر از آن‌اند که روش‌های جبری در موردشان کارساز باشد.
تعریف تابع لگاریتمی طبیعی
تابع لگاریتم طبیعی y=ln x ،
به ازای هر x بزرگتر از 1 ، این انتگرال مساحت ناحیه‌ای را نشان می‌دهد که از بالا به خم
از پایین به محور t از طرف چپ به خط t=1 و از طرف راست به خط t=x محدود است. در اواخر قرن شانزدهم ، یک بارون اسکاتلندی بنام جان‌نپر ابزاری بنام لگاریتم ابداع کرد که با تبدیل ضرب به جمع کار محاسبه را ساده می‌کند. که این کار محاسبات اعشاری در نجوم ، دریانوردی و مثلثات را ممکن ساخت. گاه می‌توان مشتق تابعی را که با یک معادله پیچیده داده شده است با گرفتن لگاریتم از دو طرف معادله قبل از عمل مشتق‌گیری سریعتر محاسبه کرد. این فرآیند را مشتق‌گیری لگاریتمی می‌نامیم.
ویژگی‌های y=ln x
- دامنه: مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت x>0
- برد: مجموعه تمام اعداد حقیقی ،
- در هر نقطه از دامنه‌اش تابعی پیوسته و صعودی است.
- دارای معکوس است.
- حاصل‌ضرب ، خارج‌قسمت و توان: اگر x,a دو عدد مثبت باشند آنگاه:
ln ax = ln a + ln x
تابع نمایی 
معکوس تابع y = ln x را تابع نمایی 
گوئیم. که موارد استفاده زیادی در ریاضیات دارد.
تعریف
تابع به ازای هر عدد حقیقی x ، 
تابع را تابع نمایی با پایه e و نمای x می‌نامند. نمادی دیگر برای ، 
است که "اکسپوتانسیل x" خوانده می‌شود. نمودار را می‌توان با پیداکردن قرینه y=ln x نسبت به خط y=x بدست آورد. نمودار همان نمودار x = ln y است. باید دقت داشته باشیم که چون و y = ln x معکوس یکدیگرند آنگاه به ازای هر x بزرگتر از صفر: 
تابع در اثر مشتق‌گیری تغییر نمی‌کند؛ این تابع فنا ناپذیر است. این تابع تابعی است صعودی زیرا مشتق آن مثبت است.
ویژگی‌های
- تابع نمایی معکوس تابع لگاریتم طبیعی y = ln x است.
- دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.
- بردش تمام اعداد مثبت.
- مشتقش همواره با خودش برابر است. و توابعی است پیوسته و صعودی از x.
تابع‌های 
.
اگر α یک عدد مثبت و x هر عدد دلخواهی باشد، تابع 
را با معادله زیر تعریف می‌کنیم:
ویژگی‌های تابع
اگر a یک عدد حقیقی مثبت باشد و 
آنگاه تابع 
دارای ویژگی‌های زیر است:- دامنه: مجموعه اعداد حقیقی
- برد: مجموعه همه اعداد حقیقی مثبت: y>0
- مشتق آن عبارت است از
- پیوسته است (زیرا مشتق‌پذیر است)؛ صعودی است هر گاه a>1. نزولی است هر گاه 0 < a <1 و در هرحالت یک‌به‌یک است.
توابع لگاریتمی 
در قسمت قبلی اشاره کردیم که لگاریتم طبیعی یکی از توابع لگاریتمی است که معکوس تابع‌نمایی است. پس بقیه کدام‌ها هستند؟ بقیه این توابع معکوس‌های توابع نمایی هستند. این معکوس‌ها در علوم و مهندسی کاربردهای بسیاری دارند.
کاربردهای توابع نمایی و لگاریتمی
در بسیاری از پدیده‌های مربوط به فیزیک ، زیست‌شناسی – محیط زیست و اقتصاد کمیتی چون y در هر زمان مفروض t با آهنگی رشد می‌کند یا زوال می‌یابد که متناسب است با مقدار کمیت موجود. این مطلب به معادله
منجر می‌شود که k ثابتی است که هرگاه y افزایش یابد، مثبت و هرگاه کاهش یابد منفی است. یا سودی که بطور پیوسته محاسبه می‌شود. یا محاسبه نیمه‌عمر یک رادیواکتیو - قانون سرمایش نیوتن.
متعالی بودن 
و یک توهم ریاضی
در گذشته فهم واقعی یا اثبات متعالی‌بودن یک عدد کار بسیار مشکلی بود. وقتی اثبات گنگ‌بودن یک عدد هم دشوار بود. یکی از سه مساله معروف روزگار باستان ، یعنی مساله "تربیع دایره تنها با ستاره و پرگار" بنظر می‌رسید که با مسأله گنگ‌بودن مربوط باشد. (دو مساله معروف دیگر ، تضعیف مکعب و تثلیث زاویه‌اند) گنگ بودن و e را لامبرت (1728-1777) در اواسط قرن هجدهم اثبات کرد. هر چند اثبات گنگ بودن مسأله تربیع دایره را حل نمی‌کند. اما با اثبات متعالی بودن مساله حل می‌شود.هرمیت ریاضی‌دان در 1873 ثابت کرد که e متعالی است. در 1882 لیندمان با استفاده از روش هرمیت ثابت کرد که
هم متعالی است. و بنابراین تکلیف آخرین نکته این مساله معروف ترسیم هندسی را معین کرد. امروزه هنوز هم عده‌ای مدعی و دچار این توهم‌اند که مساله تربیع دایره را حل کرده‌اند و راه‌حل‌های غلط خود را به بخش دانشگاه‌های سراسر دنیا می‌فرستند.