همومورفیسم:
فرض کنید

و

دو گروه باشند و

یک تابع باشد .

را یک همومورفیسم می نامیم ، اگر :
هستۀ

:
مجموعه

را که با

نمایش می دهیم ، هسته

می نامیم.
قضیه :
فرض کنید

یک همومورفیسم است. آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
1 . اگر

، آنگاه مجموعه

زیرگروه

است.
2 . اگر

، آنگاه مجموعه

زیرگروه

است.
3 . اگر

، آنگاه
4 .

زیرگروه نرمال

و

زیرگروه نرمال

است.
5 . اگر

پوشا و

باشد ، آنگاه
اثبات:
1 . میدانیم

.زیرا

لذا برای هر

ثابت میکنیم

:
اما :
بنابراین :
2 . می دانیم

. زیرا

و

بنابراین

و در نتیجه
اما بدیهی است
حال فرض می کنیم

دلخواه باشند ، در این صورت

، آنگاه :
بنابراین

و در نتیجه
3 . فرض می کنیم

عناصر دلخواه باشند . ثابت می کنیم :
که در این صورت

خواهد شد.
چون

لذا

که

یک همومورفیسم است .
از اینکه

، عنصر دلخواه است ، نتیجه میشود

است. چون

لذا طبق تعریف :
4 . طبق 2 و3 بدیهی است .
5 . برای هر

کافیست نشان دهیم :
که در این صورت

خواهد شد.
اما چون

پوشا است ، بنابراین برای

، عنصری مانند

وجود دارد که

. با توجه به اینکه

، در نتیجه

خواهد شد . پس

. یعنی :
قضیه :
فرض کنید

یک همو مورفیسم است . آنگاه

یک به یک است ، اگر و فقط اگر

که

عضو خنثی

است .
اثبات:
ابتدا فرض می کنیم

یک همومورفیسم یک به یک ( مونومورفیسم) است و

عنصر دلخواه و

عنصر خنثی

باشد .لذا :
اما

یک به یک است ، لذا :
حال فرض می کنیم

وبرای

داشته باشیم

. آنگاه :
یعنی

یک به یک است.
قضیه اساسی هموموفیسم :
فرض کنید

دو گروه ضربی و

یک همومورفیسم باشد ، آنگاه

وهمچنین

.
اثبات :
ابتدا

را در نظر می گیریم.
فرض میکنیم

با ضابطۀ زیر مفروض باشد . ثابت می کنیم

، ایزومورفیسم است :
اما

خوشتعریف است . چرا که :
بنابراین با توجه به همومورفیسم بودن

داریم :
اما

همومورفیسم نیز می باشد . زیرا :
اکنون به بررسی خاصیت یک به یک بودن

می پردازیم:
حال نشان میدهیم

پوشا نیز می باشد:
با توجه به مطالب بالا ،

یک ایزومورفیسم است و

.