منو
 صفحه های تصادفی
جزء صحیح
سازه تیر دیواری
علم شیمی
پمپهای گریز از مرکز
آسمانخراش
رامسدلیت
ویژگیهای امام در زمان ولادت
حج در کودکی
عصر کاشفان در اروپا
نیاسین
 کاربر Online
491 کاربر online
تاریخچه ی: همریختی

تفاوت با نگارش: 1

Lines: 1-65Lines: 1-100
 +{DYNAMICMENU()}
 +__واژه‌نامه__
 +*((واژگان جبر))
 +__مقالات مرتبط__
 +*((معادله))
 +*((استقرا))
 +*((اتحاد))
 +*((تجزیه))
 +*((ماتریس))
 +*((گروه))
 +*((حلقه))
 +*((میدان))
 +*((یکریختی))
 +*((فضای برداری))
 +__کتابهای مرتبط__
 +*((کتابهای جبر))
 +__[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__
 +__سایتهای مرتبط__
 +*سایتهای داخلی
 +**[http://www.tebyan.net/|تبیان]
 +**[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی]
 +*سایتهای خارجی
 +**[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش جبر]
 +**[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم جبری]
 +**[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|راهنمای مطالعه جبر]
 +**[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل جبری]
 +**[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع جبری]
 +__گالری تصویر__
 +*[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم]
 +body=
 +|~|
 +{DYNAMICMENU}
 همومورفیسم: همومورفیسم:
 فرض کنید {TEX()} {(G,\circ)} {TEX} و {TEX()} {(H,*)} {TEX} دو گروه باشند و {TEX()} {f : G \rightarrow H} {TEX} یک تابع باشد . {TEX()} {f} {TEX} را یک همومورفیسم می نامیم ، اگر : فرض کنید {TEX()} {(G,\circ)} {TEX} و {TEX()} {(H,*)} {TEX} دو گروه باشند و {TEX()} {f : G \rightarrow H} {TEX} یک تابع باشد . {TEX()} {f} {TEX} را یک همومورفیسم می نامیم ، اگر :
 {TEX()} {\forall a,b \in G : f(a \circ b)=f(a)*f(b)} {TEX} {TEX()} {\forall a,b \in G : f(a \circ b)=f(a)*f(b)} {TEX}
 هستۀ {TEX()} {f} {TEX} : هستۀ {TEX()} {f} {TEX} :
 مجموعه {TEX()} {{x \in G | f(x)=e_{G^\prime}=1_{g^\prime }} {TEX} را که با {TEX()} {ker f} {TEX} نمایش می دهیم ، هسته {TEX()} {f} {TEX} می نامیم. مجموعه {TEX()} {{x \in G | f(x)=e_{G^\prime}=1_{g^\prime }} {TEX} را که با {TEX()} {ker f} {TEX} نمایش می دهیم ، هسته {TEX()} {f} {TEX} می نامیم.
 قضیه : قضیه :
 فرض کنید {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX}یک همومورفیسم است. آنگاه گزاره های زیر برقرارند: فرض کنید {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX}یک همومورفیسم است. آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
 1 . اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه مجموعه {TEX()} {f(H)={f(h) | h \in H}} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} است. 1 . اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه مجموعه {TEX()} {f(H)={f(h) | h \in H}} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} است.
 2 . اگر {TEX()} {K \le G^\prime} {TEX} ، آنگاه مجموعه {TEX()} {f^{-1}(K)={x \in G |f(x) \in K}} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است. 2 . اگر {TEX()} {K \le G^\prime} {TEX} ، آنگاه مجموعه {TEX()} {f^{-1}(K)={x \in G |f(x) \in K}} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است.
 3 . اگر {TEX()} {K \triangleleft G^\prime } {TEX}، آنگاه {TEX()} {f^{-1}(K) \triangleleft G } {TEX} 3 . اگر {TEX()} {K \triangleleft G^\prime } {TEX}، آنگاه {TEX()} {f^{-1}(K) \triangleleft G } {TEX}
 4 . {TEX()} {{1_{G^\prime}}} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G^\prime} {TEX} و {TEX()} {ker f} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G} {TEX} است. 4 . {TEX()} {{1_{G^\prime}}} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G^\prime} {TEX} و {TEX()} {ker f} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G} {TEX} است.
 5 . اگر {TEX()} {f} {TEX} پوشا و {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {f(H) \triangleleft G^\prime } {TEX} 5 . اگر {TEX()} {f} {TEX} پوشا و {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {f(H) \triangleleft G^\prime } {TEX}
 اثبات: اثبات:
 1 . میدانیم {TEX()}{\varnothing \neq f(G) \subseteq G^\prime}{TEX}.زیرا {TEX()}{f (e) \in f (G) }{TEX} لذا برای هر {TEX()} {f(x) , f (y) } {TEX} ثابت میکنیم {TEX()}{f (x) \cdot (f (y))^{-1} \in f (G)}{TEX}: 1 . میدانیم {TEX()}{\varnothing \neq f(G) \subseteq G^\prime}{TEX}.زیرا {TEX()}{f (e) \in f (G) }{TEX} لذا برای هر {TEX()} {f(x) , f (y) } {TEX} ثابت میکنیم {TEX()}{f (x) \cdot (f (y))^{-1} \in f (G)}{TEX}:
 اما : اما :
 {TEX()}{f(x) \cdot (f (y))^{-1}= f (x) \cdot f (y^{-1})= f (x \cdot y^{-1}) \in f(G) }{TEX} {TEX()}{f(x) \cdot (f (y))^{-1}= f (x) \cdot f (y^{-1})= f (x \cdot y^{-1}) \in f(G) }{TEX}
 بنابراین : بنابراین :
 {TEX()}{f (G) \le G^\prime }{TEX} {TEX()}{f (G) \le G^\prime }{TEX}
 2 . می دانیم {TEX()} {f(1_G) \in K } {TEX} . زیرا {TEX()} {K \le G^\prime} {TEX} و {TEX()} {f(1_G)=1_{G^\prime) \in K} {TEX} بنابراین {TEX()} {1_G \in f^{-1}(K)} {TEX} و در نتیجه {TEX()} {f^{-1}(K) \neq \varnothing} {TEX} 2 . می دانیم {TEX()} {f(1_G) \in K } {TEX} . زیرا {TEX()} {K \le G^\prime} {TEX} و {TEX()} {f(1_G)=1_{G^\prime) \in K} {TEX} بنابراین {TEX()} {1_G \in f^{-1}(K)} {TEX} و در نتیجه {TEX()} {f^{-1}(K) \neq \varnothing} {TEX}
 اما بدیهی است {TEX()} {f^{-1}(K) \subseteq G} {TEX} اما بدیهی است {TEX()} {f^{-1}(K) \subseteq G} {TEX}
 حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in f^{-1}(K)} {TEX} دلخواه باشند ، در این صورت {TEX()} {f(x) , f(y) \in K} {TEX} ، آنگاه : حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in f^{-1}(K)} {TEX} دلخواه باشند ، در این صورت {TEX()} {f(x) , f(y) \in K} {TEX} ، آنگاه :
 {TEX()} {f(x)(f(y))^{-1}=f(x)f(y^{-1})=f(xy^{-1}) \in K} {TEX} {TEX()} {f(x)(f(y))^{-1}=f(x)f(y^{-1})=f(xy^{-1}) \in K} {TEX}
 بنابراین {TEX()} {xy^{-1} \in f^{-1}(K)} {TEX} و در نتیجه {TEX()} {f^{-1}(K) \le G} {TEX} بنابراین {TEX()} {xy^{-1} \in f^{-1}(K)} {TEX} و در نتیجه {TEX()} {f^{-1}(K) \le G} {TEX}
 3 . فرض می کنیم {TEX()} {g \in G , h \in f^{-1}(K)} {TEX} عناصر دلخواه باشند . ثابت می کنیم : 3 . فرض می کنیم {TEX()} {g \in G , h \in f^{-1}(K)} {TEX} عناصر دلخواه باشند . ثابت می کنیم :
 {TEX()} {ghg^{-1} \in f{-1}(K)} {TEX} {TEX()} {ghg^{-1} \in f{-1}(K)} {TEX}
 که در این صورت {TEX()} {f^{-1}(K) \triangleleft G } {TEX} خواهد شد. که در این صورت {TEX()} {f^{-1}(K) \triangleleft G } {TEX} خواهد شد.
 چون {TEX()} {h \in f^{-1}(K)} {TEX} لذا {TEX()} {f(h) \in K} {TEX} که {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX} یک همومورفیسم است . چون {TEX()} {h \in f^{-1}(K)} {TEX} لذا {TEX()} {f(h) \in K} {TEX} که {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX} یک همومورفیسم است .
 از اینکه {TEX()} {g \in G} {TEX} ، عنصر دلخواه است ، نتیجه میشود {TEX()} {f(g) \in G^\prime} {TEX} است. چون {TEX()} {K \triangleleft G^\prime } {TEX} لذا طبق تعریف : از اینکه {TEX()} {g \in G} {TEX} ، عنصر دلخواه است ، نتیجه میشود {TEX()} {f(g) \in G^\prime} {TEX} است. چون {TEX()} {K \triangleleft G^\prime } {TEX} لذا طبق تعریف :
 {TEX()} {f(g)f(h)(f(g))^{-1} \in K \Rightarrow f(ghg^{-1}) \in K \Rightarrow ghg^{-1} \in f^{-1}(K)} {TEX} {TEX()} {f(g)f(h)(f(g))^{-1} \in K \Rightarrow f(ghg^{-1}) \in K \Rightarrow ghg^{-1} \in f^{-1}(K)} {TEX}
 4 . طبق 2 و3 بدیهی است . 4 . طبق 2 و3 بدیهی است .
 5 . برای هر {TEX()} {g^\prime \in G^\prime , f(h) \in f(H)} {TEX} کافیست نشان دهیم : 5 . برای هر {TEX()} {g^\prime \in G^\prime , f(h) \in f(H)} {TEX} کافیست نشان دهیم :
 {TEX()} {g^\prime f(h) (g^\prime)^{-1} \in f(H)} {TEX} {TEX()} {g^\prime f(h) (g^\prime)^{-1} \in f(H)} {TEX}
 که در این صورت {TEX()} { f(H) \triangleleft G } {TEX} خواهد شد. که در این صورت {TEX()} { f(H) \triangleleft G } {TEX} خواهد شد.
 اما چون {TEX()} {f} {TEX} پوشا است ، بنابراین برای {TEX()} {g^\prime \in G^\prime } {TEX} ، عنصری مانند {TEX()} {g \in G} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {f(g)=g^\prime} {TEX} . با توجه به اینکه {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX} ، در نتیجه {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} خواهد شد . پس {TEX()} {f(ghg^{-1}) \in f(H)} {TEX}. یعنی : اما چون {TEX()} {f} {TEX} پوشا است ، بنابراین برای {TEX()} {g^\prime \in G^\prime } {TEX} ، عنصری مانند {TEX()} {g \in G} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {f(g)=g^\prime} {TEX} . با توجه به اینکه {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX} ، در نتیجه {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} خواهد شد . پس {TEX()} {f(ghg^{-1}) \in f(H)} {TEX}. یعنی :
 {TEX()} {f(g) f(h) f(g^{-1}) \in f(H) \ Rightarrow g^\prime f(h) (g^\prime)^{-1} \in f(H) \Rightarrow f(H) \triangleleft G^\prime } {TEX} {TEX()} {f(g) f(h) f(g^{-1}) \in f(H) \ Rightarrow g^\prime f(h) (g^\prime)^{-1} \in f(H) \Rightarrow f(H) \triangleleft G^\prime } {TEX}
 قضیه : قضیه :
 فرض کنید {TEX()} {f : G \rightarrow H} {TEX} یک همو مورفیسم است . آنگاه {TEX()} {f} {TEX} یک به یک است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {ker f={e}} {TEX} که {TEX()} {e} {TEX} عضو خنثی {TEX()} { G} {TEX} است . فرض کنید {TEX()} {f : G \rightarrow H} {TEX} یک همو مورفیسم است . آنگاه {TEX()} {f} {TEX} یک به یک است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {ker f={e}} {TEX} که {TEX()} {e} {TEX} عضو خنثی {TEX()} { G} {TEX} است .
 اثبات: اثبات:
 ابتدا فرض می کنیم {TEX()} {f} {TEX} یک همومورفیسم یک به یک ( مونومورفیسم) است و {TEX()} {x \in ker f} {TEX} عنصر دلخواه و {TEX()} {e^\prime} {TEX} عنصر خنثی {TEX()} {H} {TEX} باشد .لذا : ابتدا فرض می کنیم {TEX()} {f} {TEX} یک همومورفیسم یک به یک ( مونومورفیسم) است و {TEX()} {x \in ker f} {TEX} عنصر دلخواه و {TEX()} {e^\prime} {TEX} عنصر خنثی {TEX()} {H} {TEX} باشد .لذا :
 {TEX()} {f(x)=e^\prime=f(e)} {TEX} {TEX()} {f(x)=e^\prime=f(e)} {TEX}
 اما {TEX()} {f} {TEX} یک به یک است ، لذا : اما {TEX()} {f} {TEX} یک به یک است ، لذا :
 {TEX()} {x=e} {TEX} {TEX()} {x=e} {TEX}
 حال فرض می کنیم {TEX()} {ker f ={e}} {TEX} وبرای {TEX()} {x,y \in G} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {f(x)=f(y)} {TEX}. آنگاه : حال فرض می کنیم {TEX()} {ker f ={e}} {TEX} وبرای {TEX()} {x,y \in G} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {f(x)=f(y)} {TEX}. آنگاه :
 {TEX()} {f(x)f(y^{-1})=e^\prime \Rightarrow f(xy^{-1})=e^\prime xy^{-1} \in ker f \Rightarrow xy^{-1}=e \Rightarrow x=y} {TEX} {TEX()} {f(x)f(y^{-1})=e^\prime \Rightarrow f(xy^{-1})=e^\prime xy^{-1} \in ker f \Rightarrow xy^{-1}=e \Rightarrow x=y} {TEX}
 یعنی {TEX()} {f} {TEX} یک به یک است. یعنی {TEX()} {f} {TEX} یک به یک است.
 قضیه اساسی هموموفیسم : قضیه اساسی هموموفیسم :
 فرض کنید {TEX()} {H,G} {TEX} دو گروه ضربی و {TEX()} {f:G \rightarrow H} {TEX} یک همومورفیسم باشد ، آنگاه {TEX()} {ker f \le G} {TEX} وهمچنین {TEX()} {G/{ker f}\cong Im(f)=f(G) } {TEX}. فرض کنید {TEX()} {H,G} {TEX} دو گروه ضربی و {TEX()} {f:G \rightarrow H} {TEX} یک همومورفیسم باشد ، آنگاه {TEX()} {ker f \le G} {TEX} وهمچنین {TEX()} {G/{ker f}\cong Im(f)=f(G) } {TEX}.
 اثبات : اثبات :
 ابتدا {TEX()} {ker f=K} {TEX} را در نظر می گیریم. ابتدا {TEX()} {ker f=K} {TEX} را در نظر می گیریم.
 فرض میکنیم {TEX()} {\varphi : G/K \rightarrow H} {TEX} با ضابطۀ زیر مفروض باشد . ثابت می کنیم {TEX()} {\varphi} {TEX} ، ایزومورفیسم است : فرض میکنیم {TEX()} {\varphi : G/K \rightarrow H} {TEX} با ضابطۀ زیر مفروض باشد . ثابت می کنیم {TEX()} {\varphi} {TEX} ، ایزومورفیسم است :
 {TEX()} {\forall gK \in G/K : \varphi (gK)=f(g)} {TEX} {TEX()} {\forall gK \in G/K : \varphi (gK)=f(g)} {TEX}
 اما {TEX()} {\varphi} {TEX} خوشتعریف است . چرا که : اما {TEX()} {\varphi} {TEX} خوشتعریف است . چرا که :
 {TEX()} {\forall aK,bK \in G/K : aK=bK \Rightarrow ab^{-1} \in K} {TEX} {TEX()} {\forall aK,bK \in G/K : aK=bK \Rightarrow ab^{-1} \in K} {TEX}
 بنابراین با توجه به همومورفیسم بودن {TEX()} {f} {TEX} داریم : بنابراین با توجه به همومورفیسم بودن {TEX()} {f} {TEX} داریم :
 {TEX()} {e_h=f(ab^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(a)(f(b))^{-1} \Rightarrow f(a)=f(b) \Rightarrow \varphi (aK)= \varphi (bK)} {TEX} {TEX()} {e_h=f(ab^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(a)(f(b))^{-1} \Rightarrow f(a)=f(b) \Rightarrow \varphi (aK)= \varphi (bK)} {TEX}
 اما {TEX()} {\varphi} {TEX} همومورفیسم نیز می باشد . زیرا : اما {TEX()} {\varphi} {TEX} همومورفیسم نیز می باشد . زیرا :
 {TEX()} {\forall aK \in G/K : \varphi (aK \cdot bK)= \varphi (abK)=f(ab)=f(a)f(b)= \varphi (aK) \cdot \varphi(bK)} {TEX}  {TEX()} {\forall aK \in G/K : \varphi (aK \cdot bK)= \varphi (abK)=f(ab)=f(a)f(b)= \varphi (aK) \cdot \varphi(bK)} {TEX}
 اکنون به بررسی خاصیت یک به یک بودن {TEX()} {\varphi} {TEX} می پردازیم: اکنون به بررسی خاصیت یک به یک بودن {TEX()} {\varphi} {TEX} می پردازیم:
 {TEX()} {\forall aK,bK \in G/K : \varphi (aK)= \varphi (bK) \Rightarrow f(a)=f(b) \Rightarrow f(ab^{-1})=e_H \Rightarrow ab^{-1} \in K \Rightarrow aK=bK} {TEX}  {TEX()} {\forall aK,bK \in G/K : \varphi (aK)= \varphi (bK) \Rightarrow f(a)=f(b) \Rightarrow f(ab^{-1})=e_H \Rightarrow ab^{-1} \in K \Rightarrow aK=bK} {TEX}
 حال نشان میدهیم {TEX()} {\varphi} {TEX} پوشا نیز می باشد: حال نشان میدهیم {TEX()} {\varphi} {TEX} پوشا نیز می باشد:
 {TEX()} {\forall f(x) \in Im(f) \exists xK \in G/K ; \varphi (xK)=f(x)} {TEX}  {TEX()} {\forall f(x) \in Im(f) \exists xK \in G/K ; \varphi (xK)=f(x)} {TEX}
 با توجه به مطالب بالا ، {TEX()} {\varphi} {TEX} یک ایزومورفیسم است و {TEX()} {G/(ker f) \cong Im(f)} {TEX}. با توجه به مطالب بالا ، {TEX()} {\varphi} {TEX} یک ایزومورفیسم است و {TEX()} {G/(ker f) \cong Im(f)} {TEX}.

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 16 مرداد 1385 [12:07 ]   2   علی هادی      جاری 
 شنبه 26 فروردین 1385 [14:43 ]   1   زینب معزی      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..