||V{maketoc}||
^@#16:
!مقدمه
میانگین همساز n عدد مثبت a₂ ، a₁ ، ... ، a_n به این ترتیب تعریف می‌شود:
(M = n/(1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/a_n
اگر میانگین همساز را (که به آن واسطه توافقی هم می‌گویند) با میانگینهای مشهورتر یعنی میانگین حسابی
A = (a₁ + a₂ + ... + a_n)/n
و یا میانگین هندسی
G = (a₁a₁a₂ ... a_n)^1/n
مقایسه کنیم معلوم می‌شود که از هر دوی آنها کوچکتر است. در واقع A≥ G ≥M. علامت برابری ، تنها وقتی برقرار است که همه عددهای a₁ ، a₂ ، ... ، a_n باهم برابر باشند.
---
!تعبیر میانگین همساز برای حالت n = 2
بستگی بین سه میانگین به ازای n = 2 را می‌توان به سادگی و با زیبایی ، تعبیر هندسی کرد. ذوزنقه‌ای با ساق برابر و قاعده‌های به طولهای a₁ و a₂ در نظر می‌گیریم که بر دایره‌ای محیط باشد. (بسادگی ثابت می‌شود که چنین ذوزنقه‌ای ، همیشه وجود دارد). در این صورت ، طول ساق این ذوزنقه ، میانگین حسابی a₁ و a₂ ، طول ارتفاع ذوزنقه ، میانگین هندسی و طول تصویر ارتفاع روی ساق ، میانگین همساز آنهاست.
---
!ارتباط میانگین و تصاعد
مفهوم میانگین با مفهوم تصاعد بستگی نزدیک دارد. در تصاعد حسابی ، هر جمله (به جز جمله اول و جمله آخر) میانگین حسابی دو جمله مجاور خود است. همچنین ، در تصاعد هندسی ، هر جمله (به جز جمله‌های اول و آخر) میانگین هندسی دو جمله مجاور خود است. به همین ترتیب می‌توان تصاعد همساز (یا تصاعد توافقی) را تعریف کرد. هر جمله تصاعد همساز (به جز دو جمله اول و آخر) ، میانگین همساز دو جمله مجاور خود است. دنباله
2/1 ، 3/1 ، 4/1 ، 5/1 ، 6/1 و ...

نمونه‌ای از یک تصاعد همساز است. در واقع ، دو جمله مجاور جمله {TEX()} {1 \frac n} {TEX} عبارتند از {TEX()} {1 /frac {n - 1}} {TEX} و {TEX()} {1 \frac {n + 1}} {TEX} که میانگین همساز آنها چنین است:

{TEX()} {فرمول} {TEX} مجموع جمله‌های این تصاعد همساز ، یعنی {TEX()} {فرمول} {TEX} را رشته همساز (با رشته توافقی) گویند. گوتفرید ویلهلم نیتس ، ریاضیدان ، فیزیکدان و فیلسوف آلمانی ، در سال 1673 ثابت کرد که این رشته ، مجموعی برابر بی‌نهایت دارد. یعنی حد مجموع جزئی {TEX()} {فرمول} {TEX} با بزرگ شدن n ، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.
!!استدلال لایپ نیتس
این n جمله از رشته همساز را در نظر می‌گیریم:{TEX()} {فرمول} {TEX} هر جمله این رشته از {TEX()} {فرمول} {TEX} کوچکتر نیست، بنابراین ، این مجموع از 2/1 بزرگتر است. با توجه به این نکته ، می‌توان نوشت: {TEX()} {فرمول} {TEX} روشن است، اگر جمله‌های رشته همساز را به همین ترتیب گروه‌بندی کنیم، هر بار تکه‌ای از رشته را بدست می‌آوریم که مجموع جمله‌های آن ، از 2/1کمتر نیست. در ضمن ، تعداد این تکه‌ها در رشته ، بی‌نهایت است. جالب است، اگر آجری را روی سطح زمین قرار دهیم، آجر دوم را روی آن طوری قرار دهیم که انتهای چپ آن در نقطه 2/1 آجر زیرین قرار گیرد، به همین ترتیب آجر سوم را در نقطه 3/1 آجر زیر خود ، آجر چهارم را در نقطه 4/1 آجر سوم و ... قرار دهیم، ساختمانی پایدار بدست می‌آید، و این ساختمان را می‌توان به هر اندازه بلند ساخت.
---
!ثابت اولر
لئونار اولر در سال 1740 ثابت کرد، مجموع S_n شبیه In_n افزایش می‌یابد. به زبان دقیق‌تر ، عدد ثابت C وجود دارد، به نحوی که
S_n = In_n + C + ε_n که در آن ، وقتی n به سمت بی‌نهایت میل کند، ε_n به سمت صفر میل می‌کند. در ضمن عدد C = 0.57721 ثابت اولر نامیده می‌شود.
رشته همساز تنها نمونه تصاعد همساز نیست. اگر a و b را دو جمله اول یک تصاعد همساز بگیریم، جمله سوم آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} ، جمله چهارم آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} ، ... و جمله nام آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} می‌شود. توجه کنیم، اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد حسابی باشند، جمله nام آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} و اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد هندسی باشند، جمله nام آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} می‌شود. به سادگی می‌توان ثابت کرد که به شرط a≠0 و b≠0 مجموع جمله‌های هر تصاعد همساز به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.
---
!کاربرد میانگین همساز در فیزیک
در فیزیک ، اغلب با میانگین همساز روبه‌رو می‌شویم. به عنوان نمونه ، مقاومت دستگاهی که از n مقاومت موازی R₂ ، R₁ ، ... ، R_n تشکیل شده است، برابر است با: {TEX()} {فرمول} {TEX} یعنی، برابر است با {TEX()} {فرمول} {TEX} میانگین همساز آنها یا فاصله کانونی دستگاهی که شامل n عدسی نازک با فاصله‌های کانونی f₂ ، f₁ ، ... ، f_n باشد، برابر است با: {TEX()} {فرمول} {TEX}
---
!مباحث مرتبط با عنوان
*((تصاعد عددی))
*((تصاعد هندسی))
*((تصاعد همساز))
*((ثابت اولر))
*((میانگین))
*((مجموع حدی))
*((میانگین همساز))
#@^