: میانگین همساز

!مقدمه

میانگین همساز n عدد مثبت a₂ ، a₁ ، ... ، a_n به این ترتیب تعریف می‌شود:

(M = n/(1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/a_n

اگر میانگین همساز را (که به آن واسطه توافقی هم می‌گویند) با میانگینهای مشهورتر یعنی میانگین حسابی

A = (a₁ + a₂ + ... + a_n)/n

و یا میانگین هندسی

G = (a₁a₁a₂ ... a_n)^1/n

مقایسه کنیم معلوم می‌شود که از هر دوی آنها کوچکتر است. در واقع A≥ G ≥M. علامت برابری ، تنها وقتی برقرار است که همه عددهای a₁ ، a₂ ، ... ، a_n باهم برابر باشند.

---

!تعبیر میانگین همساز برای حالت n = 2

بستگی بین سه میانگین به ازای n = 2 را می‌توان به سادگی و با زیبایی ، تعبیر هندسی کرد. ذوزنقه‌ای با ساق برابر و قاعده‌های به طولهای a₁ و a₂ در نظر می‌گیریم که بر دایره‌ای محیط باشد. (بسادگی ثابت می‌شود که چنین ذوزنقه‌ای ، همیشه وجود دارد). در این صورت ، طول ساق این ذوزنقه ، میانگین حسابی a₁ و a₂ ، طول ارتفاع ذوزنقه ، میانگین هندسی و طول تصویر ارتفاع روی ساق ، میانگین همساز آنهاست.

---

!ارتباط میانگین و تصاعد

مفهوم میانگین با مفهوم تصاعد بستگی نزدیک دارد. در تصاعد حسابی ، هر جمله (به جز جمله اول و جمله آخر) میانگین حسابی دو جمله مجاور خود است. همچنین ، در تصاعد هندسی ، هر جمله (به جز جمله‌های اول و آخر) میانگین هندسی دو جمله مجاور خود است. به همین ترتیب می‌توان تصاعد همساز (یا تصاعد توافقی) را تعریف کرد. هر جمله تصاعد همساز (به جز دو جمله اول و آخر) ، میانگین همساز دو جمله مجاور خود است. دنباله

2/1 ، 3/1 ، 4/1 ، 5/1 ، 6/1 و ...

نمونه‌ای از یک تصاعد همساز است. در واقع ، دو جمله مجاور جمله {TEX()} {1 \frac n} {TEX} عبارتند از {TEX()} {1 /frac {n - 1}} {TEX} و {TEX()} {1 \frac {n + 1}} {TEX} که میانگین همساز آنها چنین است:

مجموع جمله‌های این تصاعد همساز ، یعنی را رشته همساز (با رشته توافقی) گویند. گوتفرید ویلهلم نیتس ، ریاضیدان ، فیزیکدان و فیلسوف آلمانی ، در سال 1673 ثابت کرد که این رشته ، مجموعی برابر بی‌نهایت دارد. یعنی حد مجموع جزئی با بزرگ شدن n ، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.

!!استدلال لایپ نیتس

این n جمله از رشته همساز را در نظر می‌گیریم: هر جمله این رشته از کوچکتر نیست، بنابراین ، این مجموع از 2/1 بزرگتر است. با توجه به این نکته ، می‌توان نوشت: روشن است، اگر جمله‌های رشته همساز را به همین ترتیب گروه‌بندی کنیم، هر بار تکه‌ای از رشته را بدست می‌آوریم که مجموع جمله‌های آن ، از 2/1کمتر نیست. در ضمن ، تعداد این تکه‌ها در رشته ، بی‌نهایت است. جالب است، اگر آجری را روی سطح زمین قرار دهیم، آجر دوم را روی آن طوری قرار دهیم که انتهای چپ آن در نقطه 2/1 آجر زیرین قرار گیرد، به همین ترتیب آجر سوم را در نقطه 3/1 آجر زیر خود ، آجر چهارم را در نقطه 4/1 آجر سوم و ... قرار دهیم، ساختمانی پایدار بدست می‌آید، و این ساختمان را می‌توان به هر اندازه بلند ساخت.

---

!ثابت اولر

لئونار اولر در سال 1740 ثابت کرد، مجموع S_n شبیه In_n افزایش می‌یابد. به زبان دقیق‌تر ، عدد ثابت C وجود دارد، به نحوی که

S_n = In_n + C + ε_n که در آن ، وقتی n به سمت بی‌نهایت میل کند، ε_n به سمت صفر میل می‌کند. در ضمن عدد C = 0.57721 ثابت اولر نامیده می‌شود.

رشته همساز تنها نمونه تصاعد همساز نیست. اگر a و b را دو جمله اول یک تصاعد همساز بگیریم، جمله سوم آن برابر ، جمله چهارم آن برابر ، ... و جمله nام آن برابر می‌شود. توجه کنیم، اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد حسابی باشند، جمله nام آن برابر و اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد هندسی باشند، جمله nام آن برابر می‌شود. به سادگی می‌توان ثابت کرد که به شرط a≠0 و b≠0 مجموع جمله‌های هر تصاعد همساز به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.

---

!کاربرد میانگین همساز در فیزیک

در فیزیک ، اغلب با میانگین همساز روبه‌رو می‌شویم. به عنوان نمونه ، مقاومت دستگاهی که از n مقاومت موازی R₂ ، R₁ ، ... ، R_n تشکیل شده است، برابر است با: یعنی، برابر است با میانگین همساز آنها یا فاصله کانونی دستگاهی که شامل n عدسی نازک با فاصله‌های کانونی f₂ ، f₁ ، ... ، f_n باشد، برابر است با:

---

!مباحث مرتبط با عنوان

*((تصاعد عددی))

*((تصاعد هندسی))

*((تصاعد همساز))

*((ثابت اولر))

*((میانگین))

*((مجموع حدی))

*((میانگین همساز))