تاریخچه ی:
میانگین همساز
تفاوت با نگارش: 1
| - | ||V{maketoc}||
^@#16: |
+ | V{maketoc}
{DYNAMICMENU()}
__واژه‌نامه__
*((واژگان آمار))
__مقالات مرتبط__
*((آمار توصیفی))
*((آمار استنباطی))
*((توزیعهای آماری))
*((میانگین همساز))
*((میانگین گیری ))
*((مطالعه توصیفی داده ها))
*((فضای نمونه و پیشامدها))
*((جامعه و نمونه))
*((نقش آمار در پژوهشهای علمی))
*((مفاهیم و روشهای نمونه گیری))
__کتابهای مرتبط__
*((کتابهای آمار))
__[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__
*[http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29|سوالات و نظرات خود را اینجا وارد کنید]
__سایتهای مرتبط__
*سایتهای داخلی
**[http://www.tebyan.net/|تبیان]
**[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی]
*سایتهای خارجی
**[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش]
**[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم]
**[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل]
**[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع]
__گالری تصویر__
*[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم]
body=
|~|
{DYNAMICMENU}
|
| | !مقدمه | | !مقدمه |
| | میانگین همساز n عدد مثبت a2 ، a1 ، ... ، an به این ترتیب تعریف می‌شود: | | میانگین همساز n عدد مثبت a2 ، a1 ، ... ، an به این ترتیب تعریف می‌شود: |
| | (M = n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an | | (M = n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an |
| | اگر میانگین همساز را (که به آن واسطه توافقی هم می‌گویند) با میانگینهای مشهورتر یعنی میانگین حسابی | | اگر میانگین همساز را (که به آن واسطه توافقی هم می‌گویند) با میانگینهای مشهورتر یعنی میانگین حسابی |
| | A = (a1 + a2 + ... + an)/n | | A = (a1 + a2 + ... + an)/n |
| | و یا میانگین هندسی | | و یا میانگین هندسی |
| | G = (a1a1a2 ... an)1/n | | G = (a1a1a2 ... an)1/n |
| | مقایسه کنیم معلوم می‌شود که از هر دوی آنها کوچکتر است. در واقع A≥ G ≥M. علامت برابری ، تنها وقتی برقرار است که همه عددهای a1 ، a2 ، ... ، an باهم برابر باشند. | | مقایسه کنیم معلوم می‌شود که از هر دوی آنها کوچکتر است. در واقع A≥ G ≥M. علامت برابری ، تنها وقتی برقرار است که همه عددهای a1 ، a2 ، ... ، an باهم برابر باشند. |
| | --- | | --- |
| | !تعبیر میانگین همساز برای حالت n = 2 | | !تعبیر میانگین همساز برای حالت n = 2 |
| | بستگی بین سه میانگین به ازای n = 2 را می‌توان به سادگی و با زیبایی ، تعبیر هندسی کرد. ذوزنقه‌ای با ساق برابر و قاعده‌های به طولهای a1 و a2 در نظر می‌گیریم که بر دایره‌ای محیط باشد. (بسادگی ثابت می‌شود که چنین ذوزنقه‌ای ، همیشه وجود دارد). در این صورت ، طول ساق این ذوزنقه ، میانگین حسابی a1 و a2 ، طول ارتفاع ذوزنقه ، میانگین هندسی و طول تصویر ارتفاع روی ساق ، میانگین همساز آنهاست. | | بستگی بین سه میانگین به ازای n = 2 را می‌توان به سادگی و با زیبایی ، تعبیر هندسی کرد. ذوزنقه‌ای با ساق برابر و قاعده‌های به طولهای a1 و a2 در نظر می‌گیریم که بر دایره‌ای محیط باشد. (بسادگی ثابت می‌شود که چنین ذوزنقه‌ای ، همیشه وجود دارد). در این صورت ، طول ساق این ذوزنقه ، میانگین حسابی a1 و a2 ، طول ارتفاع ذوزنقه ، میانگین هندسی و طول تصویر ارتفاع روی ساق ، میانگین همساز آنهاست. |
| | --- | | --- |
| | !ارتباط میانگین و تصاعد | | !ارتباط میانگین و تصاعد |
| | مفهوم میانگین با مفهوم تصاعد بستگی نزدیک دارد. در تصاعد حسابی ، هر جمله (به جز جمله اول و جمله آخر) میانگین حسابی دو جمله مجاور خود است. همچنین ، در تصاعد هندسی ، هر جمله (به جز جمله‌های اول و آخر) میانگین هندسی دو جمله مجاور خود است. به همین ترتیب می‌توان تصاعد همساز (یا تصاعد توافقی) را تعریف کرد. هر جمله تصاعد همساز (به جز دو جمله اول و آخر) ، میانگین همساز دو جمله مجاور خود است. دنباله | | مفهوم میانگین با مفهوم تصاعد بستگی نزدیک دارد. در تصاعد حسابی ، هر جمله (به جز جمله اول و جمله آخر) میانگین حسابی دو جمله مجاور خود است. همچنین ، در تصاعد هندسی ، هر جمله (به جز جمله‌های اول و آخر) میانگین هندسی دو جمله مجاور خود است. به همین ترتیب می‌توان تصاعد همساز (یا تصاعد توافقی) را تعریف کرد. هر جمله تصاعد همساز (به جز دو جمله اول و آخر) ، میانگین همساز دو جمله مجاور خود است. دنباله |
| | 2/1 ، 3/1 ، 4/1 ، 5/1 ، 6/1 و ... | | 2/1 ، 3/1 ، 4/1 ، 5/1 ، 6/1 و ... |
| | نمونه‌ای از یک تصاعد همساز است. در واقع ، دو جمله مجاور جمله {TEX()} {1 \frac n} {TEX} عبارتند از {TEX()} {1 /frac {n - 1}} {TEX} و {TEX()} {1 \frac {n + 1}} {TEX} که میانگین همساز آنها چنین است: | | نمونه‌ای از یک تصاعد همساز است. در واقع ، دو جمله مجاور جمله {TEX()} {1 \frac n} {TEX} عبارتند از {TEX()} {1 /frac {n - 1}} {TEX} و {TEX()} {1 \frac {n + 1}} {TEX} که میانگین همساز آنها چنین است: |
| - | {TEX()} {فرمول} {TEX} مجموع جمله‌های این تصاعد همساز ، یعنی {TEX()} {فرمول} {TEX} را رشته همساز (با رشته توافقی) گویند. گوتفرید ویلهلم نیتس ، ریاضیدان ، فیزیکدان و فیلسوف آلمانی ، در سال 1673 ثابت کرد که این رشته ، مجموعی برابر بی‌نهایت دارد. یعنی حد مجموع جزئی {TEX()} {فرمول} {TEX} با بزرگ شدن n ، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. |
+ | مجموع جمله‌های این تصاعد همساز ، یعنی را رشته همساز (با رشته توافقی) گویند. گوتفرید ویلهلم نیتس ، ریاضیدان ، فیزیکدان و فیلسوف آلمانی ، در سال 1673 ثابت کرد که این رشته ، مجموعی برابر بی‌نهایت دارد. یعنی حد مجموع جزئی با بزرگ شدن n ، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. |
| | !!استدلال لایپ نیتس | | !!استدلال لایپ نیتس |
| - | این n جمله از رشته همساز را در نظر می‌گیریم:{TEX()} {فرمول} {TEX} هر جمله این رشته از {TEX()} {فرمول} {TEX} کوچکتر نیست، بنابراین ، این مجموع از 2/1 بزرگتر است. با توجه به این نکته ، می‌توان نوشت: {TEX()} {فرمول} {TEX} روشن است، اگر جمله‌های رشته همساز را به همین ترتیب گروه‌بندی کنیم، هر بار تکه‌ای از رشته را بدست می‌آوریم که مجموع جمله‌های آن ، از 2/1کمتر نیست. در ضمن ، تعداد این تکه‌ها در رشته ، بی‌نهایت است. جالب است، اگر آجری را روی سطح زمین قرار دهیم، آجر دوم را روی آن طوری قرار دهیم که انتهای چپ آن در نقطه 2/1 آجر زیرین قرار گیرد، به همین ترتیب آجر سوم را در نقطه 3/1 آجر زیر خود ، آجر چهارم را در نقطه 4/1 آجر سوم و ... قرار دهیم، ساختمانی پایدار بدست می‌آید، و این ساختمان را می‌توان به هر اندازه بلند ساخت. |
+ | این n جمله از رشته همساز را در نظر می‌گیریم: هر جمله این رشته از کوچکتر نیست، بنابراین ، این مجموع از 2/1 بزرگتر است. با توجه به این نکته ، می‌توان نوشت: روشن است، اگر جمله‌های رشته همساز را به همین ترتیب گروه‌بندی کنیم، هر بار تکه‌ای از رشته را بدست می‌آوریم که مجموع جمله‌های آن ، از 2/1کمتر نیست. در ضمن ، تعداد این تکه‌ها در رشته ، بی‌نهایت است. جالب است، اگر آجری را روی سطح زمین قرار دهیم، آجر دوم را روی آن طوری قرار دهیم که انتهای چپ آن در نقطه 2/1 آجر زیرین قرار گیرد، به همین ترتیب آجر سوم را در نقطه 3/1 آجر زیر خود ، آجر چهارم را در نقطه 4/1 آجر سوم و ... قرار دهیم، ساختمانی پایدار بدست می‌آید، و این ساختمان را می‌توان به هر اندازه بلند ساخت. |
| | --- | | --- |
| | !ثابت اولر | | !ثابت اولر |
| | لئونار اولر در سال 1740 ثابت کرد، مجموع Sn شبیه Inn افزایش می‌یابد. به زبان دقیق‌تر ، عدد ثابت C وجود دارد، به نحوی که | | لئونار اولر در سال 1740 ثابت کرد، مجموع Sn شبیه Inn افزایش می‌یابد. به زبان دقیق‌تر ، عدد ثابت C وجود دارد، به نحوی که |
| | Sn = Inn + C + εn که در آن ، وقتی n به سمت بی‌نهایت میل کند، εn به سمت صفر میل می‌کند. در ضمن عدد C = 0.57721 ثابت اولر نامیده می‌شود. | | Sn = Inn + C + εn که در آن ، وقتی n به سمت بی‌نهایت میل کند، εn به سمت صفر میل می‌کند. در ضمن عدد C = 0.57721 ثابت اولر نامیده می‌شود. |
| - | رشته همساز تنها نمونه تصاعد همساز نیست. اگر a و b را دو جمله اول یک تصاعد همساز بگیریم، جمله سوم آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} ، جمله چهارم آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} ، ... و جمله nام آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} می‌شود. توجه کنیم، اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد حسابی باشند، جمله nام آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} و اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد هندسی باشند، جمله nام آن برابر {TEX()} {فرمول} {TEX} می‌شود. به سادگی می‌توان ثابت کرد که به شرط a≠0 و b≠0 مجموع جمله‌های هر تصاعد همساز به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. |
+ | رشته همساز تنها نمونه تصاعد همساز نیست. اگر a و b را دو جمله اول یک تصاعد همساز بگیریم، جمله سوم آن برابر ، جمله چهارم آن برابر ، ... و جمله nام آن برابر می‌شود. توجه کنیم، اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد حسابی باشند، جمله nام آن برابر و اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد هندسی باشند، جمله nام آن برابر می‌شود. به سادگی می‌توان ثابت کرد که به شرط a≠0 و b≠0 مجموع جمله‌های هر تصاعد همساز به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. |
| | --- | | --- |
| | !کاربرد میانگین همساز در فیزیک | | !کاربرد میانگین همساز در فیزیک |
| - | در فیزیک ، اغلب با میانگین همساز روبه‌رو می‌شویم. به عنوان نمونه ، مقاومت دستگاهی که از n مقاومت موازی R2 ، R1 ، ... ، Rn تشکیل شده است، برابر است با: {TEX()} {فرمول} {TEX} یعنی، برابر است با {TEX()} {فرمول} {TEX} میانگین همساز آنها یا فاصله کانونی دستگاهی که شامل n عدسی نازک با فاصله‌های کانونی f2 ، f1 ، ... ، fn باشد، برابر است با: {TEX()} {فرمول} {TEX} |
+ | در فیزیک ، اغلب با میانگین همساز روبه‌رو می‌شویم. به عنوان نمونه ، مقاومت دستگاهی که از n مقاومت موازی R2 ، R1 ، ... ، Rn تشکیل شده است، برابر است با: یعنی، برابر است با میانگین همساز آنها یا فاصله کانونی دستگاهی که شامل n عدسی نازک با فاصله‌های کانونی f2 ، f1 ، ... ، fn باشد، برابر است با: |
| | --- | | --- |
| | !مباحث مرتبط با عنوان | | !مباحث مرتبط با عنوان |
| | *((تصاعد عددی)) | | *((تصاعد عددی)) |
| | *((تصاعد هندسی)) | | *((تصاعد هندسی)) |
| | *((تصاعد همساز)) | | *((تصاعد همساز)) |
| | *((ثابت اولر)) | | *((ثابت اولر)) |
| | *((میانگین)) | | *((میانگین)) |
| | *((مجموع حدی)) | | *((مجموع حدی)) |
| | *((میانگین همساز)) | | *((میانگین همساز)) |
| - | #@^ | |
