مقدمه

در ریاضیات گاهی به عبارتهای بسیار خسته کننده و دشوار می‌رسیم، اما این عبارتها ، بعضی مواقع با عبارتهای معادل جایگزین می‌شوند که نسبت به عبارتهای اولیه کوتاهتر و به اصطلاح جمع و جورتر هستند. بنابراین می‌توان گفت که به نوعی بین روابط اولیه و روابط کوتاه بعدی ، وحدت یا متحد بودن برقرار است. یعنی می‌توان یک رابطه تساوی نوشت ، بگونه‌ای که عبارت طولانی‌تر در یک طرف و عبارت کوتاهتر در طرف دیگر آن قرار گیرد. چنین عبارتی را در اصطلاح ریاضیات یک اتحاد ریاضی می‌گویند. برای ورود به بحث اتحادها بهتر است ابتدا چند تعریف مقدماتی را که در برسی اتحادها مفید واقع می‌شود، بیان کنیم.

عبارت جبری

عبارت جبری ، عبارتی است که در آن اعداد و حروف با چهار عمل اصلی و توان و رادیکال به هم مربوط شده‌اند. به عنوان مثال عبارتی به صورت 3x+5xy یک عبارت جبری است که ترکیبی از حروف x و y و اعداد ا ست که با عمل جمع به هم مربوط شده‌اند.

چند جمله‌ای

در حالت کلی یک عبارت جبری به صورت

P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+....+a₂x²+a₁x¹+a₀

را یک چند جمله‌ای می‌گویند که در آن x متغیر بوده و ضرایب a₁ , a₂ , ......, a_n-1 , a_n اعدا حقیقی هستند.چند جمله‌ای فوق یک چند جمله‌ای تک متغیره است، اما یک چند جمله‌ای می‌تواند دارای متغیرهای بیشتری باشد. مثلا عبارت 2x²+5xy⁴+14y-18 یک چند جمله‌ای دو متغیره است. بدیهی است که هر چند جمله‌ای با تعداد جملاتش شناخته می‌شود. مثلا (P(x یک n جمله‌ای است.

درجه یک چند جمله‌ای

هر چند جمله‌ای علاوه بر تعداد جملات دارای یک ویژگی دیگر نیز می‌باشد که از آن تحت عنوان درجه چند جمله‌ای تعبیر می‌شود. طبق تعریف در هر چند جمله‌ای ، درجه نسبت به هر یک از متغیرها بزرگترین درجه آن متغیر است. درجه هر جمله نسبت همه متغیرها بزرگترین درجه آن متغیر است. درجه هر جمله نسبت به همه متغیرها با مجموع توانهای متغیرها در آن جمله برابر است و نیز درجه چند جمله‌ای نسبت به همه حروف با بیشترین درجه جملات آن برابر است. به عنوان مثال در مورد چند جمله‌ای x⁴+2x²y²z+z²+zxy+xy³ احکام زیر را می‌توان صادر کرد.

• درجه نسبت به x برابر 4 است.
• درجه نسبت به y برابر 4 است.
• درجه نسبت به z برابر 2 است.
• درجه نسبت به همه حروف برابر 5 است.

تفکیک عبارتهای معین و نامعین

در هر عبارت جبری ، مجموعه‌ مقادیری که می‌توانند جانشین متغییرهای آن عبارت شوند، دامنه عبارت جبری نامیده می‌شود. اما در هر عبارت جبری با توجه به نوع عملی که در آن بکار رفته است، محدودیتهایی ظاهر می‌شود. این محدودیتها منجر به تفکیک عبارتهای معین ونامعین می‌شود. به عنوان مثال در یک عبارت کسری که مخرج کسر شامل متغییر است، تنها مقادیری می‌توانند به جای متغییر قرار گیرند که مخرج کسر را صفر نکنند. به عبارت دیگر هر عبارت کسری با مخرج صفر ، عبارتی نامعین است که از لحاظ ریاضی تعریف نشده است.

عبارتهای متحد

دو عبارت جبری را متحد گویند، هرگاه ضرایب جملات متشابه در آنها یکسان باشد. دو جمله متشابه ، دو جمله‌ای را گویند که توان همه متغیرها در آنها یکسان باشد. به عنوان مثال از اتحاد (ax⁴+bx²+c≡(x²-2)(x+4 می‌توان نتیجه گرفت که a=1 و b=4 و c=-8 است. چون اگر عبارت طرف دوم را بسط دهیم، عبارتی به صورت x⁴+4x²-2x-8 حاصل می‌شود، که از مساوی قرار دادن ضرایب جملات مشابه ، مقادیر فوق بدست می‌آید.

اتحادهای مهم

a+b)2=a2+b2+2ab)

a-b)2=a2+b2-2ab)

a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab

a-b)(a+b)=a2-b2)

x+b)(x+b)=x2+(a+b)x+ab)

(a3+b3=(a-b)(a2-ab+b2

(a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2

a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3)

a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3)

چند جمله‌ای خیام

می توان گفت که اتحادهای جبری را می‌توان از یک رابطه کلی که به چند جمله‌ای خیام معروف است، بدست آورد. چند جمله‌ای خیام به صورت زیر بیان می‌شود.
a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+n(n-1)/n a^n-2b²+....+bⁿ)
بدیهی است که اگر بجای b مقدار (b-) را قرار دهیم، در این صورت عبارت ⁿ(a-b) حاصل می‌شود.

بسط چند جمله‌ای با استفاده از اتحادها

در اتحادهای جبری ملاحظه کردیم که در طرف اول فقط دو جمله وجود داشت. اما اگر چنانچه بیشتر از دو جمله وجود داشته باشد، بازهم می‌توان با استفاده از اتحادهای جبری ، این عبارتها را بسط داد. به عنوان مثال ، اگر بخواهیم عبارت ²(a+b+c) را بسط دهیم، در این صورت بهتر است که ابتدا به جای b+c کمیت جدید d را قرار داده و ² (a+d) بسط می‌دهیم. حال در قدم بعدی مقدار d را جایگذاری کرده و بار دیگر با استفاده از اتحادهای جبری این جمله را نیز بسط می‌دهیم و در نهایت به رابطه زیر می‌رسیم.

سوالات چهار جوابی

1) اگر 0= 2(x-z)+2(z-y)+2(y-x) باشد، کدامیک از احکام زیر درست است؟

الف) x = y = -z	................................
ب)x = y = z
ج)x+y+z=0		د)xyz=1

حل: در عبارت فوق تما جملات به توان زوج رسیده‌اند و همواره مقداری مثبت خواهند داشت از طرف دیگر مجموعه چند عبارت مثبت تنها زمانی صفر است که تک تک آن عبارتها به تنهایی بر ابر صفر باشند. بنابراین x=y=z بوده و گزینه یک صحیح خواهد بود.

2) اگر a+b=-c باشد، حاصل عبارت a3+b3 کدام است؟

الف)C3	................................
ب) C3 -
ج)C3+3abc		د)-C3+3abc

حل: در اتحادهای جبری ملاحظه کردیم که a³+b³ را می‌توان به صورت(a²-ab+b²)(a+b) نوشت همچنین عبارت a²-ab+b² را نیز می‌توان با اضافه و کم کردن 2ab به آن و با استفاده از اتحاد a+b)²=a²+b²+2ab) به صورت (a+b)² - 3ab) نوشت. بنابراین در نهایت می‌توان a³+b³ را به صورت (a+b)( (a+b)²-3ab) نوشت. حال اگر a+b=-c را قرار دهیم خواهیم داشت.


بنابراین گزینه (د) صحیح است.
3) اگر ax4+bx2+cx+d=(x-1)(x+2x+1)2 باشد، مقادیر a،b کدام است.

الف) b=0 , a=1	................................
ب)a=0 , b=6
ج)a=0 , b=0		د) a=1 , b=6

حل: اگر عبارت دوم طرف را با استفاده از اتحادها بسط داده و ضرب را نیز اعمال کنیم، ملاحظه می‌شود که ضریب x² و جمله x⁴ در طرف دوم وجود ندارد بنابراین گزینه (ب) صحیح است.
4) اگر tanx+cotx=4 باشد، حاصل عبارت tan2x+cot2x کدام است.

الف) نامعین است	................................
ب) 8
ج)9		د) 7

حل: ازاتحادهای جبری می‌دانیم که (a+b)²=a²+b²+2ab) است، بنابراین عبارت tan2x+cot2x می‌توان به صورت (tanx+cotx)³ - 2tanxcotx) نوشت. همچنین از مثلثلات می‌دانیم که tanx=1/cotx است، بنابراین حاصل عبارت برابر 7 خواهد بود.

5) در عبارت a+b)⁵) ، ضریب جمله a²b³ کدام است.

الف) 10	................................
ب) 9
ج) 14		د)20

حل: اگر با استفاده از رابطه چند جمله‌ای خیام پاسگال این عبارت را بسط دهیم، ضریب جمله a²b³ برابر مقدار 10خواهد بود. لذا گزینه (الف) صحیح است.
6) عبارت 2x+1/√x-2 به ازا کدامیک از مقادیر زیر نامعین نیست؟

الف) x=2	................................
ب) x>2
ج)x>=2		د) x<2

حل: در این عبارت ، جمله رادیکال با فرجه زوج در مخرج وجود دارد. از طرف دیگر می‌دانیم که هر گاه مخرج یک عبارت کسری صفر باشد، آن عبارت نامعین است، همچنین مقدار عبارت زیر رادیکال با فرجع زوج نیز نباید منفی باشد، بنابراین شرط نامعین نبودن عبارت این است که x>2 باشد.

7) اگر x=1+√2 باشد، حاصل عبارت A=x³-3x²+3x- 5 کدام است.

الف) 2√-4	................................
ب) 2√+4
ج)2√2+1		د)2√2-4

حل: اگر عبارت A را با استفاده از اتحاد (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ مرتبط کنیم، خواهیم داشت. A=x³-3x²+3x.5=(x-1)³-4 بنابراین مقدار A برابر 4 - 2√2 خواهد بود.

سوالات چهار گزینه‌ای حل نشده

1) اگر c>0 -a<0,b<0 حاصل عبارت A=√a3b3c3 کدام است؟

الف) abc√abc	................................
ب)-abc√abc
ج)ac√b3c		د)bc√b3c

2) اگر tanx+cotx=3 باشد، حاصل عبارت tan3x+cot3x کدام است.

الف) 18	................................
ب) 9
ج) 27		د) 3

3) عبارت (√2+3√20)20 چند جمله گویا دارد؟

الف) 5	................................
ب) 6
ج)7		د) 4

4( در عبارت |X²-2X>│X²│-│2X| محدود X کدام است؟

الف) 2>0>x	................................
ب)X<2 , X>2
ج)X=0 , X>=2		د) -2

5) در بسط X+1+X²+…+X⁵)²) چند جمله متمایز وجود دارد؟

الف)16	................................
ب)10
ج)9		د)11

6) اگر a²+b²+c²= ab + ac + bc باشد، حاصل abc/a²+b²+c² کدام است؟

الف) a/3	................................
ب)a
ج)3a		د)a2

7) اگر x+1/x=a باشد، مقدار x³+1/x³ کدام است.

الف) a3-3a	................................
ب)a3
ج)a3+1/a3		د)a3+3a2

8) حاصل عبارت x⁴-x²-x+1 کدام است؟

الف)(x-1)(x3-2X2)	................................
ب)(x+2)(x3+1)
ج) (x-1)(x3+x2-1)		د)(x2+x+1)