تعریف

دایره ، سهمی ، بیضی و هذلولی هستند که معادله‌شان حالت‌های خاصی از معادله درجه دوم زیر است:



بطور مثال دایره:


از معادله درجه دوم فوق بدست آورد. در واقع خط راست هم حالت خاصی از معادله درجه دوم است هرگاه ولی این شرایط معادله درجه دوم را به یک معادله خطی بجای معادله درجه دوم بدل می‌کنند جملات جملات درجه دوم می‌باشند و در حال حاضر رابطه ذکر شده در تعریف را وقتی که لااقل یکی از این جملات درجه وجود داشته باشند بررسی خواهیم کرد.

تاریخچه

معادلات درجه دوم و اشکال آنها موارد مورد بحث در هندسه تحلیلی سه بعدی هستند. هندسه تحلیلی سه بعدی را ریاضیدانان قرن هفدهم میلادی از قبیل فرما ، دکارت و لاهید ابداع کردند. ولی دستگاه مختصاتی را که ما امروز به کار می‌بریم ، یوهان برنولی در فاصله‌ای به لایب نیتس در 1715 صورتبندی کرد. در قرن هجدهم ، آلکسی کلرو (1713-1765) و لئونهارت اویلر (1707-1783) برجسته ترین ریاضی‌دانانی بودند که هندسه سه‌بعدی را گسترش دادند.

بخصوص کلرو معلوم ساخت که یک رویه را می‌توان با معادله‌ای بر حسب سه مختصش نشان داد و برای توصیف خمی در فضا ، دو تا از این گونه معادله‌ها لازم است. او ایده‌هایش را در کتاب "تحقیق درباره خم‌های با خمیدگی مضاعف" در 1731 مطرح کرد وی در این کتاب معادلات چندین رویه درجه دوم از قبیل کره – استوانه – هذلولیوار و بیضی‌وار را آورد. توجه او در نهایت معطوف به شکل زمین بود که فکر می کرد نوعی بیضیوار باشد. گاسپار موثر هندسه‌دان پیشرو قرن هجدهم زیرا مطالب زیادی درباره هندسه تحلیلی سه بعدی نوشت.

ساختمان

جمله مخلوط را می‌توان با دوران محورها حذف نمود بی آنکه از کلیت مطلب کاسته شود، بنابراین با تبدیل معادله ذکر شده در بخش تعریف به معادله زیر خواهیم داشت:



در این صورت معادله فوق:

1. یک خط راست است هرگاه یا یکی از آنها صفر نباشد.
   
   
2. یک دایره است هرگاه ، در حالات خاص ممکن است که به یک نقطه تبدیل شود و یا هیچ مکان حقیقی بوجود نیاورد.
   
   
3. یک سهمی است هرگاه نسبت به یکی از متغیرها خطی و نسبت به دیگری از درجه دوم باشد.
4. یک بیضی است و هرگاه هر دو مثبت و یا هر دو منفی باشند در حالت خاص ممکن است که بیضی تبدیل به یک نقطه شود و یا هیچ مکان حقیقی بوجود نیارود.
   
   
5. یک هذلولی است هرگاه غیر از صفر و مختلف‌العلامات باشند. در حالات خاص ، مثلا ممکن است که مکان به دو خط متقاطع تبدیل شوند.
   
   

برای شناختن منحنی ای که معادله‌اش داده شده است:

1. محورها را (در صورت لزوم) دوران دهید تا درجه ناحیه مخلوط حذف شود.
2. محورها را (در صورت لزوم) انتقال دهید تا معادله به شکلی در آید که قابل تشخیص باشد.
   
   

گاهی اوقات مفید است که محکی که مشخص می‌کند که آیا یک معادله درجه دوم سهمی یا بیضی یا هذلولی است مستقیما در مورد معادله بکار برده شود بی‌آنکه لازم باشد که آن را بوسیله دوران محورها بصورتی فاقد جمله در آوریم.

با توجه به مطالب بالا اگر محورها را به اندازه زاویه‌ای چون که از رابطه بدست می‌آید دوران دهیم معادله را به شکل معادل زیر تبدیل می‌کند:



که در آن ضرایب جدید هستند که به ضرایب قدیم مربوط‌اند. هر گاه α از رابطه گفته شده انتخاب کنیم در اینصورت حال اگر معادله منحنی مطابق با ضرایب جدیدی اما فاقد جمله باشد آن منحنی:

1. سهمی است هرگاه یا (اما هر دو) صفر باشد و هر دو در معادله وجود داشته باشند.
   
   
2. بیضی است (یا در حالات استثنایی ، یک نقطه ، یا تهی است) هرگاه هم‌علامت باشند.
   
   
3. هذلولی است (یا در حالات استثنایی یک جفت خط متقاطع است) هرگاه هم‌علامت نباشند.
   
   ولی می‌توان دید که ، برای هر دوران دلخواهی از محورها رابطه زیر بین A ، B ، C و برقرار است:
   
   

یعنی مقدار تحت هر دورانی از محورها بدون تغییر باقی می‌ماند. اما وقتی که دوران خاصی را که را صفر کند انجام دهیم طرف راست معادله فوق به شکل ساده تبدیل می‌گردد. حالا می‌توانیم محک لازم را بر حسب مبین معادله یعنی:



بیان کنیم. می‌توان گفت که منحنی:

1. سهمی (یا در حالات استثنایی یک جفت متوازی ، یا یک خط یا یک مکان تهی) است هرگاه:
   
   
2. بیضی است (یا در حالات خاص یک نقطه ، یا تهی) هرگاه:
   
   
3. هذلولی است ( یا در حالات خاص یک جفت خط متقاطع است) هرگاه:
   
   

• باید توجه کرد که اگر در معادله اصلی هیچ جمله درجه اولی وجود نداشته باشد، در معادله جدید هم وجود نخواهد داشت. این مطلب از این حقیقت ناشی می‌شود که دوران محورها درجه هر جمله از معادله را حفظ می‌کند.

مباحث مرتبط با عنوان

• اشکال هندسی
• خطوط متقاطع
• هندسه تحلیلی
• هندسه فضایی
• معادلات دیفرانسیل
• معادلات خطی
• معادلات درجه دوم
• مقاطع مخروطی