اگر ذره‌ای در صفحه‌ای حرکت کند، اندازه حرکت زاویه‌ای آن (
) حول نقطه o را به صورت گشتاور بردار اندازه حرکت آن حول نقطه o و به عبارت دیگر ، به صورت حاصل‌ضرب فاصله ذره از نقطه o ، در مولفه
اندازه حرکت خطی عمود بر خط واصل ذره به نقطه o ، تعریف می‌کنیم. اندیس o در L نشان دهنده این است که گشتاور حول نقطه o در نظر گرفته می‌شود.
رابطه اندازه حرکت زاویه‌ای
فرض کنید ذره‌ای به
جرم m و به فاصله r از مبدا قرار دارد، بطوری که بردار مکان
با محور افقی زاویه Ф می‌سازد. همچنین فرض کنید این ذره تحت تاثیر نیرویی حول محور عمود بر
در نقطه o ، دوران کند.
بردار سرعت حرکت ذره حول مبدا (
) با بردار
زاویه θ می‌سازد. در این صورت اندازه حرکت زاویه‌ای این ذره به صورت زیر تعریف می‌شود:
ضرب موجود در رابطه فوق
ضرب برداری است. به این معنی که اگر بخواهیم مقدار عددی L را تعیین کنیم، برابر حاصل‌ضرب مقدار عددی rmv در سینوس زاویه θ خواهد بود و چون
یک
کمیت برداری است، لذا علاوه بر مقدار باید جهت نیز داشته باشد. جهت
با استفاده از
قاعده دست راست تعیین می‌شود، یعنی جهت
در راستای عمود بر صفحه شامل دو بردار
و
خواهد بود.
رابطه اندازه حرکت زاویه‌ای با اندازه حرکت خطی
در مبحث دینامیک حرکت ، بردار اندازه حرکت خطی به صورت حاصل‌ضرب جرم ذره در بردار سرعت آن تعریف می‌شود. بنابراین چون در رابطه گفته شده برای اندازه حرکت زاویه‌ای حاصل‌ضرب سرعت ذره در جرم آن ظاهر شده است، لذا می‌توان با استفاده از تعریف اندازه حرکت خطی ، بردار اندازه حرکت زاویه‌ای را به صورت زیر بازنویسی کرد:
رابطه گشتاور نیرو با اندازه حرکت زاویه‌ای
می‌دانیم که بردار گشتاور نیرو به صورت حاصل‌ضرب برداری
نیرو در بردار مکان ذره تعریف می‌شود. به عبارت دیگر ، اگر بردار مکان ذره را با
نشان دهیم و نیروی
که موجب دوران ذره حول مبدا می‌شود، با بردار مکان
زاویه θ بسازد، در این صورت بردار گشتاور نیرو که با
نشان می‌دهیم، به صورت زیر خواهد بود:
علامت ضرب در عبارت فوق ضرب برداری است. همچنین از
قانون دوم نیوتن می‌دانیم که نیروی
را می‌توان به صورت
مشتق زمانی بردار اندازه حرکت خطی یعنی (
) نوشت:
. بنابراین با توجه به این که اندازه حرکت زاویه‌ای نیز به صورت حاصل‌ضرب بردار مکان
در اندازه حرکت خطی تعریف می‌شود، لذا گشتاور نیرو بر حسب اندازه حرکت زاویه‌ای به صورت زیر قابل بیان است:
بقای اندازه حرکت زاویه‌ای
دیدیم که بردار گشتاور نیرو به صورت مشتق زمانی بردار اندازه حرکت زاویه‌ای است. این رابطه شبیه رابطه ای است که برای قانون دوم نیوتن نوشتیم. در آنجا نیرو کمیتی است که باعث
حرکت انتقالی ذره می‌شود، لذا نیرو با مشتق زمانی اندازه حرکت خطی برابر است. در اینجا نیز گشتاور نیرو سبب
دوران ذره می‌شود و لذا به صورت مشتق زمانی اندازه حرکت زاویه‌ای تعریف می‌شود.
حال اگر اندازه حرکت زاویه‌ای ذره مقدار ثابتی باشد، در این صورت مشتق زمانی آن صفر خواهد شد و لذا گشتاور نیرو و یا به عبارت بهتر برآیند کل گشتاور نیروی وارد بر ذره صفر خواهد بود. در این صورت بردار اندازه حرکت زاویه‌ای بقا خواهد داشت.
شرط بقای اندازه حرکت زاویه‌ای
ملاحظه کردیم که برای پایسته بودن بردار اندازه حرکت زاویه‌ای باید گشتاور نیروی کل برآیند وارد بر ذره صفر باشد (
جمع بردارها). از طرف دیگر ، بردار گشتاور نیرو را به صورت حاصل‌ضرب برداری بردار مکان ذره در نیروی وارد بر آن تعریف نمودیم. لذا با توجه به تعریف حاصل‌ضرب برداری ، شرط این که گشتاور نیرو یا حاصل‌ضرب برداری نیرو در بردار مکان صفر باشد، این است که نیرو در امتداد بردار مکان ذره یا به صورت موازی با آن اعمال شود.
همچنین از آنجا که گشتاور نیرو کمیتی برداری است و گشتاور کل برابر با برآیند گشتاورهای وارد بر ذره است، لذا بردارهای گشتاور نیرو می‌توانند به نوعی وارد شوند که اثر همدیگر را خنثی کنند و در نهایت بردار گشتاور نیروی برآیند صفر باشد.
نتایج بقای اندازه حرکت زاویه‌ای
از آنجا که کمیت اندازه حرکت زاویه‌ای ، یک کمیت برداری است، لذا ثابت بودن یا پایسته بودن آن مستلزم ثابت بودن مقدار و جهت آن می‌باشد. ثابت بودن مقدار آن که در روابط اعمال می‌شود، اما ثابت بودن جهت بردار اندازه حرکت زاویه‌ای مستلزم آن است که حرکت در صفحه صورت گیرد، یعنی چون جهت بردار اندازه حرکت اندازه حرکت زاویه‌ای را با استفاده از قاعده دست راست در جهت عمود بر صفحه شامل بردار مکان
و بردار سرعت
تعریف کردیم، لذا پیامد ثابت بودن جهت
محدود شدن حرکت به صفحه خواهد بود.
تکانه زاویه‌ای جسم صلب
در مورد
جسم صلب بردار اندازه حرکت زاویه‌ای به صورت حاصل‌ضرب
سرعت زاویه‌ای (ω) در
لختی دورانی (I) تعریف می‌شود. البته لازم به ذکر است که در حالت کلی هر جسم صلب ، بدون توجه به نامنظم بودن شکل آن ، سه محور عمود بر هم دارد که از
مرکز جرم آن عبور می‌کنند و به عنوان محورهای اصلی معروفند. L و ω هر دو نسبت به هر یک از این محورها هم جهت بوده و با رابطه
به هم مربوط می‌شوند.
در حالت کلی ، جهتهای L و ω نسبت به محورهای دیگر که اصلی نیستند، مختلف‌الجهت می‌باشند، اما در جهات خاصی که دوران حول محور ثابت صورت گیرد، رابطه
صادق است. بنابراین در مورد یک دستگاه شامل یک جسم صلب که در حال دوران حول محوری که (مثلا محور z) در یک
چارچوب مرجع لخت ثابت است، رابطه اندازه حرکت زاویه‌ای به صورت
خواهد بود.
کاربردهای جالب بقای بردار اندازه حرکت زاویه‌ای
بندبازان ، شیرجه‌زنان بالدنیها ، اسکیت بازها و نظایر آنها غالبا از این اصل به نفع خود استفاده می‌کنند. چون I (گشتاور لختی یا لختی دورانی) به مجذور فاصله اجزای جسم از محور دوران بستگی دارد، می‌توان مقدار آن را با باز یا جمع کردن دست و پا تا حدود زیادی تغییر داد.
به عنوان مثال ، یک شناگر زمانی که تخته شیرجه را ترک می‌کند، می‌تواند سرعت زاویه‌ای خود را به گونه‌ای تنظیم کند که قبل از برخورد با آب چند دور بزند. نظیر این موارد در مورد پرش گربه‌ها نیز می‌توانیم مشاهده کنیم. گربه هنگام پریدن از یک ساختمان به ساختمان دیگر با باز کردن یا جمع کردن دست و پای خود سرعت زاویه‌ای‌اش را تنظیم می‌کند.
مباحث مرتبط با عنوان
