شاید از خود پرسیده باشید این تعریفها بدرد چه می‌خورد. شاید الان متوجه نشوید ولی خواهید دید با این تعاریف و قضایایی كه برای این عملگرها اثبات می‌شود می‌توان تا حد زیادی شیوه نمایش (نوتاسیون) روابط را بسیار ساده كرد و به فرمی درآورد كه در موقع نگاه به آنها دید مناسبی از كاری كه در حال انجامش هستیم بدست آوریم. تحمل كنید، نتایجش را خواهید دید.

ضرب اسكالر از جمله عملگرهایی است كه خروجی‌ آن عدد است نه بردار. یعنی ، عددی حقیقی خواهد بود.

این ضرب را باید بگونه‌ای تعریف كرد كه خواص زیر را داشته باشد.

(1-3-3-3)

(2-3-3-3)

(3-3-3-3)

(4-3-3-3)

پیشنهاد شما برای یك تعریف مناسب برای ضرب داخلی چیست؟

برای آنكه بتوانیم خواص مورد ذكر را پیاده كنیم بهتر است سعی كنیم كمی نتایج خوب در مورد ضرب داخلی بدست بیاوریم كه

طبق رابطه‌ سوم

امّا صرفاً كمیاتی هندسی هستند و وابسته به جهتهای مختلف. پس مقدار برابر با حاصلضرب اندازه‌هایشان در مقداری است كه صرفاً به جهات هندسی این دو بردار بستگی دارد. حالا بیایید خود را ساده كنیم.

هدف ما از تعریف ضرب داخلی، تعریف عدد اسكالری است كه كمیتی فیزیكی باشد پس می‌بایست ضرب داخلی نیز تحت دوران و چرخش دستگاه مرجع مقدارش تغییر نكند. (به اصطلاح ناوردا بماند) اگر چهارچوبمان را كه است بچرخانیم و به تبدیل كنیم آنگاه در دستگاه به تبدیل می‌شوند.

امّا چون می‌خواهیم ضرب داخلی به جهت‌گیری دستگاهمان بستگی نداشته باشد، باید:

امّا این چگونه ممكن است، در صورتیكه مقدار این ضرب صرفاً به خواص نسبی به بستگی داشته باشد. خواص آنها یكی اندازه‌ا‌شان است كه برای تمام بردارهای یكه نسبت به هم ثابت است و دیگری زاویه هندسی بین این دو است كه در هر دو دستگاه یكسان می‌ماند.

امّا طبق خاصیت دوم (2-3-3-3)این بخش:

امّا زاویه نسبی به منفی زاویه نسبی به است پس یعنی زوج است.

حال باید سعی كنیم شرطی روی بگذاریم. برای این كار نامساوی كوشی - شوآرتز را استفاده خواهیم كرد.

فرض كنید دو بردار و داریم و بردار را به صورت مقابل از می‌سازیم:

از خاصیت اول داریم كه:

كه به نامساوی كوشی - شوآرتز برای ضرب داخلی معروف است.

اگر این نامساوی را برای و بكار ببریم:

ضرب داخلی یك بردار یكه با خودش برای همه بردارهای یكه مقدار زیر است زیرا زاویه یك بردار با خودش صفر است.

پس برای تابع خواهیم داشت:

طبیعی است كه این تابع برای مقادیر یك مقدار را بدهد زیرا این دو زاویه عیناً یك حالت نسبی بین دو بردار یكه ایجاد می‌كنند.

حال اگر تمام خواص را خلاصه كنیم، خواهیم داشت:

فرض كنید باشد:

این خواص در تابع یافت می‌شود، پس یكی از تعاریف مناسب ضرب داخلی در فضای هندسی حقیقی می‌باشد كه زاویه جهت با است.

می‌توان روی همین تعریف خواص 1 تا 4 را بررسی كرد منتها كاری كاملاً هندسی است و برای خاصیت‌ 4 كمی سخت است. به جای آن بهتر است تعریف مؤلفه‌ای را بدست آوریم.

همانطور كه می‌بینید تعریف هندسی می‌گوید كه تصویر یكی از دو بردار را روی دیگری بدست آورده، آنگاه این دو مقدار را در هم ضرب كنید:

در رویكرد مؤلفه‌ای می‌باید را برحسب زوایای با محور مرجع بیان كنیم:

اگر بالعكس انتخاب كنیم:

تفاوتی نخواهد داشت.

در این حالت خواص 4-1 بدیهی بنظر می‌رسند زیرا برای هر كدام از جملات فوق بطور واضح صحیحند. نكته‌ جالب آن است كه:

ضرب داخلی در دو حالت صفر خواهد شد:

1. یا و یا هر دو صفر باشند

مقدار اندازه بردار را برحسب اندازه‌های و و زاویه بینشان بدست آورید.

مؤلفه‌های بردار را در راستاهای و كه با هم ناموازیند برحسب ضربهای داخلی بین آنها بنویسید؟

اگر و بگیریم چون

ممكن است این سؤال پیش بیاید كه شاید نشود هر برداری را بفرم نوشت، برای رفع این مشكل كافی است و را برحسب و بسازیم آنگاه چون هر برداری به فرم می‌توان نوشت قطعاً برحسب و هم نوشته خواهد شد:

شرط آنكه این جوابها موجود باشند آنست كه:

یعنی دو بردار همراستا و موازی نباشند كافی است. حال از روی روابط فوق می‌توان مؤلفه‌های و را برحسب مؤلفه‌های و نوشت:

ضرب داخلی یكی از پركاربردترین ضربهای برداری است كه خیلی از نمادگذاریها را ساده می‌كند. مثلاً: كار یك نیرو را می‌توان با در جابجایی نمایش داد یا شار عبوری از یك سطح را با كه بردار سطح مورد نظر است.

نوع دیگری ضرب نیز در بردارها وجود دارد كه چون نیازمند فضای سه بعدی است تعریف آن را به بعد از بخش فضای سه بعدی موكول می‌كنیم.