دید کلی
برای توابع نیز مانند مجموعهها ، یا خود تناظرها میتوان عملیات جبری را تعریف نمود که باید تابع مورد نظر ، تابع حقیقی باشد. منظور از یک تابع با مقدار حقیقی روی مجموعه X، یا به طور خلاصه ، یک تابع حقیقی روی مجموعه X تابعی است مانند f: X→R از مجموعه X به مجموعه اعداد حقیقی، تابع مختلط نیز به طریق مشابهی تعریف میشود.
مجموعه دلخواه X را در نظر میگیریم؛ فرض میکنیم
مجموعه کلیه توابع حقیقی روی مجموعه X باشد. برای این توابع حقیقی ، اعمال جمع و ضرب را نظیر اعمال جمع و ضرب در اعداد حقیقی میتوان تعریف نمود.
تعریف جمع دو تابع
حاصل جمع دو تایی حقیقی f: X→R و g: X→R برابر است با تابع حقیقی f+g: X→R
به طوری که برای هر
، مقدار x تحت تابع f+g مساوی است با حاصل جمع دو عدد حقیقی
و
به عبارت دیگر ، برای هر
داریم:
=
+
تعریف ضرب دو تابع
حاصلضرب دو تابع حقیقی f: X→R و g: X→R عبارت است از تابع حقیقی
fg: X→R
به طوری که برای هر
مقدار x تحت تابع fg برابر است با حاصلضرب دو عدد حقیقی
و
. به عبارت دیگر، برای هر
داریم:
=
x
- هرگاه تعداد عناصر مجموعه X باپایان باشد، با جمع و ضرب عناصر متناظر در جدول تناظر توابع g , f ، به آسانی میتوان جدول تناظر توابع f+g و fg را تشکیل داد.
ویژگیهای مهم حاصلجمع تابعی و حاصلضرب تابعی
حاصلجمع و حاصلضرب توابع حقیقی را به ترتیب حاصلجمع تابعی و حاصلضرب تابعی مینامیم. چون حاصلجمع و حاصلضرب توابع حقیقی براساس حاصلجمع و حاصلضرب اعداد حقیقی تعریف شدند، به سهولت خواص و ویژگیهای زیر را از اعداد حقیقی به ارث میبرند.
حاصلجمع تابعی و حاصلضرب تابعی توابع حقیقی دارای ویژگیهای زیر میباشند:
- خاصیت جابجایی: برای دو تابع حقیقی g ,f روی مجموعه X داریم:
f+g=g+f
fg=gf
- خاصیت شرکت پذیری: برای سه تابع f، g و h روی مجموعه X داریم:
- خاصیت پخش پذیری: برای سه تابع f، g و h روی مجموعه X داریم:
=
+
حاصلضرب تابع حقیقی در یک عدد حقیقی (حاصل ضرب اسکالر)
حاصلضرب عدد حقیقی C و تابع حقیقی f: X→R عبارت است از تابع حقیقی
Cf: X→R
به طوری که برای هر
مقدار تابع برابر است با حاصلضرب دو عدد حقیقی C و
خواص حاصلضرب اسکالر
ویژگیهای مهم حاصلضرب عددی توابع حقیقی عبارتند از:
=af+ag
=af+bf
=
=
If=f
که در روابط بالا b , a اعداد حقیقی دلخواه و g , f توابع حقیقی دلخواهی روی مجموعه X میباشند.
تفاضل دو تابع حقیقی
تفاضل دو تابع حقیقی f: X→R و g: X→R را میتوان بر حسب حاصلضرب عددی و حاصلجمع تابعی به وسیله رابطه
f-g=f+(-1)g
یا مستقیما، برای هر
به وسیله:
=
-
تعریف نمود. تفاضل f-g تابعی حقیقی روی مجموعه X میباشد.
خارج قسمت دو تابع حقیقی
خارج قسمت تابع حقیقی f: X→R بر تابع حقیقی g: X→R را میتوان برای هر
به صورت
تعریف نمود. باید توجه داشت که تابع خارج قسمت (f/g) وقتی معین یا تعریف شده است که برای هر
داشته باشیم g(x)≠0. بنابراین خارج قسمت f/g تابعی حقیقی روی مجموعه X میباشد.
توانهای صحیح تابع حقیقی
توانهای صحیح تابع حقیقی f: X→R یا به عبارت دیگر fn به این صورت تعریف میشود. هرگاه n>0 ، آنگاه fn ، تابع حقیقی بر روی مجموعه X است. که برای هر
با ضابطه
تعریف میشود. اگر n≤0، آنگاه برای هر
باید داشته باشیم
، در این صورت ، fn برای هر
به صورت
تعریف میشود.
بنابراین،
برابر تابع ثابت 1 روی مجموعه X خواهد بود.
خواص توانهای صحیح تابع
خواص توانهای صحیح حقیقی f: X→R، مستقیما از ویژگیهای متناظر اعداد حقیقی نتیجه میشود:
تعریف دامنه
برای توابع جبری که ساختیم باید دامنه تعریف کنیم. دامنه توابع در زیر آمده است:
مباحث مرتبط با عنوان