مقدمه
تئوری ریاضی مدرن مجموعهها یکی از شگفتترین ابداعات ذهن بشری است. این تئوری به سبب وضوح غیرمعمول بعضی از ایدههای آن و نیز به جهت بکارگیری برهانهای منحصر بفرد اعمال شده در آن دارای جذابیت وصف ناپذیری است. بهتر از همه اینها ، این تئوری برای تقریبا همه ریاضیات اهمیت فوقالعادهای قایل شده است. همچنین تاثیر این تئوری بر
مبانی ریاضیات بسیار عمیق بوده است. بعلاوه تئوری مجموعهها یکی از پلهای ارتباطی بین
ریاضیات از یک سو و
فلسفه و
منطق را از سوی دیگر تشکیل میدهد. فکر و بسط یک تئوری به نام "
تئوری مجموعهها" و عمل کردن با آن بصورت یک موضوع خاص و اصیل از آن
کانتور ریاضیدان آلمانی اواخر قرن نوزدهم است. آنچه که کانتور خلق کرده و به ریاضیات افزوده تئوری
مجموعههای نامتناهی و اعداد اصلی است.
تئوری کانتور مفهوم مهم "
تناظر یکبهیک" را مورد استفاده قرار میدهد. میگوییم مجموعه
با مجموعه
همارز یا مساوی است و گاه بتوان بین اعضای آن تناظری یکبهیک برقرار نمود. به زبان دقیقتر مجموعه
با مجموعه
همارز است هرگاه بتوانیم تابعی چون
پیدا کنیم که
یکبهیک و
پوشا باشد.
اعداد اصلی
عده اعضای هر مجموعه را عدد اصلی آن مجموعه مینامیم. عدد اصلی مجموعه
را با
یا
نشان میدهیم. بنابراین همه مجموعههایی که با هم ، همارزند دارای یک عدد اصلی هستند به گفته
راسل ، 2 ، یعنی عدد اصلی همه مجموعههای دوعضوی و ... . هرگاه یک
مجموعه متناهی باشد عدد اصلی آن
عدد طبیعی است و این عدد اصلی را یک عدد اصلی متناهی مینامیم. بنابراین هر یک از اعداد طبیعی یک عدد اصلی متناهی است و هرگاه یک مجموعه نامتناهی باشد، عدد اصلی آن را یک عدد اصلی نامتناهی مینامیم. از آنجا که همه مجموعههای نامتناهی به یک بزرگی نیستند، عددهای اصلی نامتناهی وجود دارد.
خواص مهم اعداد اصلی مجموعههای متناهی
خاصیت مهمی که در مورد اعداد اصلی مجموعههای متناهی بدست میآید عبارت است از:
همینطور عدد اصلی A در دو خاصیت زیر صدق میکند:
- اگر A یک مجموعه متناهی باشد آنگاه
عدد اصلی N ، مجموعه اعداد طبیعی ، را به
(الف صفر) نشان میدهیم. بنابراین اگر A مجموعه عددهای فرد طبیعی باشد.
هر مجموعه که با N همارز باشد یک
مجموعه شمارا نامیده میشود.
عدد اصلی R را با c نشان میدهیم. بنابراین:
(الف صفر) اولین (کوچکترین) عدد اصلی نامتناهی است.
کانتور تاکید میکرد که انواع مختلف و بیشمار عددهای نامتناهی وجود دارد که ممکن است بصورت یک رشته صعودی تنظیم شوند. بدین لحاظ برای هر عدد اصلی نامتناهی، عدد اصلی نامتناهی دیگری که بزرگتر از آن است را میتوان ارائه داد. این مطلب محتوای قضیه مشهور کانتور است. (برای اطلاع از این قضیه رجوع کنید به آخر مقاله بند1).
- تذکر: توجه میکنیم که عدد اصلی یک مجموعه مانند A ، لزوما یک عدد طبیعی نیست و فقط در حالتی که A یک مجموعه متناهی باشد آنگاه عدد اصلی A همان عدد A است که یک عدد طبیعی است. ولی مثلا عدد اصلی N دیگر یک عدد طبیعی نیست، بلکه عددی است که برای مجموعه A داریم: A بیشمار باشد
- اعداد اصلی b,a را در نظر میگیریم:
الف) اگر a=cord A و b=cord B و
آنگاه جمع b , a را بصورت زیر تعریف میکنیم:
ب) اگر a=cord A و b=cord B ، آنگاه ضرب b ,a را بصورت زیر تعریف میکنیم:
ج) اگر a=cord A و b=cord B ، آنگاه a به توان b را بصورت زیر تعریف میکنیم:
بنابراین برای مجموعههای متناهی، جمع و ضرب و توان اعداد اصلی مانند جمع و ضرب و توان معمولی اعداد طبیعی است.
- اعداد اصلی a=cord A و b=cord B را در نظر میگیریم در اینصورت:
الف) میگوییم a کوچکتر یا مساوی b است و مینویسیم
اگر
ب) میگوییم a کوچکتر از b است و مینویسیم (a
قضیه مشهور کانتور
قبل از اینکه قضیه مشهور کانتور را بیان کنم لازم است با مفهوم مجموعه توان که به 
نشان داده میشود آشنا باشید برای هر مجموعه A مجموعه همه زیر مجموعههای A مجموعه توان A مینامیم. حال به بیان قضیه کانتور میپردازیم. طبق این قضیه "هر مجموعه از مجموعه توان خود کوچکتر است". بعبارت دیگر وقتی گفته میشود A از B کوچکتر است، بدان معنی است که A با زیرمجموعهای حقیقی از B همارز است ولی A با فرد B همارز نیست.
کاربردها
- مفاهیم مربوط به فضا و هندسه یک فضا توسط تئوری مجموعهها تمام منقلب شده است.
- مفاهیم اساسی آنالیز ، همانند مفهوم حد ، مفهوم تابع ، اتصال ، مشتق و انتگرال اکنون با استفاده از ایدههای تئوری مجموعهها توصیف میشوند.
مباحث مرتبط با عنوان
مطلب از: آیدا سلیم نژاد
