مقدمه
میانگین همساز n عدد مثبت a
2 ، a
1 ، ... ، a
n به این ترتیب تعریف می‌شود:
(M = n/(1/a
1 + 1/a
2 + ... + 1/a
n
اگر میانگین همساز را (که به آن واسطه توافقی هم می‌گویند) با میانگینهای مشهورتر یعنی میانگین حسابی
A = (a
1 + a
2 + ... + a
n)/n
و یا میانگین هندسی
G = (a
1a
1a
2 ... a
n)
1/n
مقایسه کنیم معلوم می‌شود که از هر دوی آنها کوچکتر است. در واقع A≥ G ≥M. علامت برابری ، تنها وقتی برقرار است که همه عددهای a
1 ، a
2 ، ... ، a
n باهم برابر باشند.
تعبیر میانگین همساز برای حالت n = 2
بستگی بین سه میانگین به ازای n = 2 را می‌توان به سادگی و با زیبایی ، تعبیر هندسی کرد. ذوزنقه‌ای با ساق برابر و قاعده‌های به طولهای a
1 و a
2 در نظر می‌گیریم که بر دایره‌ای محیط باشد. (بسادگی ثابت می‌شود که چنین ذوزنقه‌ای ، همیشه وجود دارد). در این صورت ، طول ساق این ذوزنقه ، میانگین حسابی a
1 و a
2 ، طول ارتفاع ذوزنقه ، میانگین هندسی و طول تصویر ارتفاع روی ساق ، میانگین همساز آنهاست.
ارتباط میانگین و تصاعد
مفهوم میانگین با مفهوم تصاعد بستگی نزدیک دارد. در تصاعد حسابی ، هر جمله (به جز جمله اول و جمله آخر) میانگین حسابی دو جمله مجاور خود است. همچنین ، در تصاعد هندسی ، هر جمله (به جز جمله‌های اول و آخر) میانگین هندسی دو جمله مجاور خود است. به همین ترتیب می‌توان تصاعد همساز (یا تصاعد توافقی) را تعریف کرد. هر جمله تصاعد همساز (به جز دو جمله اول و آخر) ، میانگین همساز دو جمله مجاور خود است. دنباله
2/1 ، 3/1 ، 4/1 ، 5/1 ، 6/1 و ...
نمونه‌ای از یک تصاعد همساز است. در واقع ، دو جمله مجاور جمله
عبارتند از
و
که میانگین همساز آنها چنین است:
مجموع جمله‌های این تصاعد همساز ، یعنی را رشته همساز (با رشته توافقی) گویند. گوتفرید ویلهلم نیتس ، ریاضیدان ، فیزیکدان و فیلسوف آلمانی ، در سال 1673 ثابت کرد که این رشته ، مجموعی برابر بی‌نهایت دارد. یعنی حد مجموع جزئی با بزرگ شدن n ، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.
استدلال لایپ نیتس
این n جمله از رشته همساز را در نظر می‌گیریم: هر جمله این رشته از کوچکتر نیست، بنابراین ، این مجموع از 2/1 بزرگتر است. با توجه به این نکته ، می‌توان نوشت: روشن است، اگر جمله‌های رشته همساز را به همین ترتیب گروه‌بندی کنیم، هر بار تکه‌ای از رشته را بدست می‌آوریم که مجموع جمله‌های آن ، از 2/1کمتر نیست. در ضمن ، تعداد این تکه‌ها در رشته ، بی‌نهایت است. جالب است، اگر آجری را روی سطح زمین قرار دهیم، آجر دوم را روی آن طوری قرار دهیم که انتهای چپ آن در نقطه 2/1 آجر زیرین قرار گیرد، به همین ترتیب آجر سوم را در نقطه 3/1 آجر زیر خود ، آجر چهارم را در نقطه 4/1 آجر سوم و ... قرار دهیم، ساختمانی پایدار بدست می‌آید، و این ساختمان را می‌توان به هر اندازه بلند ساخت.
ثابت اولر
لئونار اولر در سال 1740 ثابت کرد، مجموع S
n شبیه In
n افزایش می‌یابد. به زبان دقیق‌تر ، عدد ثابت C وجود دارد، به نحوی که
S
n = In
n + C + ε
n که در آن ، وقتی n به سمت بی‌نهایت میل کند، ε
n به سمت صفر میل می‌کند. در ضمن عدد C = 0.57721 ثابت اولر نامیده می‌شود.
رشته همساز تنها نمونه تصاعد همساز نیست. اگر a و b را دو جمله اول یک تصاعد همساز بگیریم، جمله سوم آن برابر ، جمله چهارم آن برابر ، ... و جمله nام آن برابر می‌شود. توجه کنیم، اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد حسابی باشند، جمله nام آن برابر و اگر b,a دو جمله اول یک تصاعد هندسی باشند، جمله nام آن برابر می‌شود. به سادگی می‌توان ثابت کرد که به شرط a≠0 و b≠0 مجموع جمله‌های هر تصاعد همساز به سمت بی‌نهایت میل می‌کند.
کاربرد میانگین همساز در فیزیک
در فیزیک ، اغلب با میانگین همساز روبه‌رو می‌شویم. به عنوان نمونه ، مقاومت دستگاهی که از n مقاومت موازی R
2 ، R
1 ، ... ، R
n تشکیل شده است، برابر است با: یعنی، برابر است با میانگین همساز آنها یا فاصله کانونی دستگاهی که شامل n عدسی نازک با فاصله‌های کانونی f
2 ، f
1 ، ... ، f
n باشد، برابر است با:
مباحث مرتبط با عنوان
