|
این مطلب از بخش آموزش وبسایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وبسایت المپیاد رشدموجود میباشد. برای مشاهده این موضوعات در وبسایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین میتوانید با کلیک اینجا ، با ویژگیهای بخش آموزش این وبسایت آشنا شوید. |
3. تقارن و بازتاب.
همان طور که میدانید، اگر نقطه
قرینه 
نسبت به
باشد، آن گاه داریم:
یا 
همین طور قرینه یک شکل یا یک خط را میتوان بدست آورد. برای مثال اگر خط
قرینه
نسبت به نقطه باشد، برای هر نقطه
، وجود دارد 
بطوریکه:
یا 
(وهمچنین به ازای هر
وجود دارد ، که: 
) بنابراین اگر معادله برابر باشد با: 
، داریم:
میدانیم قرینه
نسبت به محور
ها برابر با
، و در نمایش قطبی
قرینه
است.
حال برای بدست آوردن بازتاب هر شکل یا هر خط، نسبت به محور حقیقی نیز میتوان به همین ترتیب عمل کرد. برای مثال، بازتاب خط
نسبت به محور حقیقی برابر است با:
اما فرض کنید، بخواهیم بازتاب نقطه
را نسبت به خطی مانند
بدست آوریم ( این خط از مبدا می گذرد )، بنابراین اگر نقطه حاصل از این بازتاب باشد، میتوان آن را به ترتیب زیر بدست آورد: ابتدا باید شکل را تحت زاویه 
حول مبدا دوران داد، تا خط
به محور ها تبدیل شود، بنابراین نقاط متناظر با
حاصل از این دوران برابرند با: 
. پس باید داشته باشیم:
بنابراین خواهیم داشت:
بدین ترتیب بازتاب هر شکل یا هر خط را، نسبت به خطی که از مبدا میگذرد،میتوان بدست آورد. برای مثال بازتاب خط
نسبت به خط 
برابر است با:
(توجه کنید که
نیمساز زاویه ای است که از برخورد 
بوجود آمده)
حال اگر بازتاب نقطه
، نسبت به خط، به معادله 
را که از مبدا نمیگذرد،
بنامیم، را می توان با انتقال به اندازه 
بدست آورد، بدین ترتیب خواهیم داشت:
و مشابهاً بازتاب خط
به معادله
، نسبت به خط 
از معادله زیر بدست میآید:
