مقدمه

تابع را در نظر بگیرید در این تابع همراه با افزایش نمودار صعود می‌کند؛ اما قسمتی از خم که مربوط به بازه است مربوط به در جهت‌های متفاوتی تقعر می‌یابند. اگر در امتداد خم از سمت چپ به طرف مبدأ برویم پیچش خم به سمت راست است. وقتی از مبدأ دور می‌شویم، خم به سمت چپ می‌پیچد. با توجه به مطالب ذکر شده می‌گوئیم تقعر خم بر بازه که در آن مشتق اول ، کم می‌شود رو به پایین و بر بازه که در آن مشتق اول زیاد می‌شود رو به ‌بالاست. در زندگی روزمره امان نقطه عطف سهم ویژه‌ای در مطالعات ما دارد. اغلب ما تغییر سیر زندگی‌مان را توسط یک پیشامد به عنوان نقطه عطفی در زندگی خصوصی‌مان یاد می‌کنیم. بنابراین منظور از نقطه عطف یک تابع ، یک تغییر و یک انقلاب ناگهانی است.

شرایط نقطه عطف

تابع را در نظر می‌گیریم در صورتی که شرایط زیر صادق باشد، گوئیم نقطه عطف این تابع است:

1. تابع در پیوسته باشد.
2. تابع در دارای خط مماس باشد.
3. تقعر منحنی در عوض شود.

آزمون مشتق اول برای تعیین نقطه عطف تابع

هرگاه باشد داریم:

1. اگر ریشه ساده معادله باشد آنگاه طول نقطه اکسترمم است.
   
   
2. اگر a ریشه مضاعف معادله باشد آنگاه طول نقطه عطف با مماس افقی است.
   
   

همانطور که می‌دانیم نقطه عطف نقطه‌ای است که در آن بتوان مماس بر تابع رسم کرد. همین‌طور نقطه‌ای است که تقعر منحنی تغییر می‌کند، بنابراین با داشتن مشتق تابع و تعیین تغییر علامت تابع مشتق در نقاط مختلف می‌توان نقطه عطف را شناسایی نمود. در اطر اف نقطه عطف نقطه‌ای ، در یک طرف ، تابع اکیدا صعودی (یعنی مثبت) و در طرف دیگر تابع اکیدا نزولی (یعنی منفی) است.

آزمون مشتق دوم برای شناسایی نقطه عطف

هرگاه باشد داریم:


الف) اگر ریشه ساده معادله باشد آنگاه طول نقطه عطف است.


ب) اگر ریشه مضاعف معادله باشد آنگاه با یکی از دو حالت زیر مواجه خواهیم شد:

1. اگر ریشه ساده معادله باشد آنگاه طول نقطه اکسترمم است.
   
   
2. اگر ریشه ساده معادله نباشد آنگاه طول نقطه مپلاست.

بنابراین نقطه عطف خمی که دو بار مشتق‌پذیر است نقطه‌ای است که در طرفش مثبت و در طرف دیگر منفی است. در نقطه عطف صفر است، زیرا مشتق‌ها دارای ویژگی‌ مقدار میانی هستند، البته توجه به این نکته خالی از لطف نیست که ممکن است در نقطه‌ای برابر صفر باشد که نقطه عطف نیست. همین‌طور نقطه در جایی باشد که در آن نقطه موجود نیست. مثل نمودار ، نقطه عطف این تابع در جایی است که وجود ندارد.

برخی نکات طلایی برای شناسایی نقطه عطف

• هرگاه تابع فرد بوده و موجود یا باشد، مبدأ مختصات نقطه عطف این تابع است.
  
  
• در نقطه عطف مقدار موجود نیست ولی درصورت وجود برابر صفر است.
  
  
• نقطه برای تابع (با شرایط ) نقطه عطف با مماس افقی است.
  
  
• برای تابع (با شرایط فرد) داریم:
  
  

الف) اگر باشد آنگاه نقطه عطف با مماس قائم است.
ب) اگر باشد آنگاه نقطه عطف با مماس افقی است.

• منحنی توابع که بشکل ، و ، هستند، دارای نقطه عطف نیست.
  
  
• برای توابع کسری به شکل داریم:

در تابع فوق اگر مخرج فاقد ریشه باشد آنگاه:

کاربردها

نقاط عطف برای ترسیم توابع ، آگاهی از رفتار تابع در نقاط مختلف برای مهندسی سدها ، مهندسی پل بسیار حائز اهمیت است.

مباحث مرتبط به عنوان

• انتگرال
• تابع اکیدا صعودی
• تابع اکیدا نزولی
• تقعر منحنی
• مشتق
• مماس افقی
• مماس قائم
• نقاط اکسترمم

---

• مطلب از آیدا سلیم نژاد