خوش‌ترتیبی خاصیتی است که به برخی از
مجموعه‌های مرتب داده می‌شود.
رابطه‌ی ترتیب روی این مجموعه‌ها بایستی یک
رابطه‌ی ترتیب خطی باشد.
تعریف
- رابطه‌ی خوش‌ترتیب ، رابطه‌ی ترتیب خطی ای است که روی یک مجموعه تعریف شده به صورتی که هر زیر مجموعه‌ی ناتهی از این مجموعه دارای یک کوچکترین عضو باشد.
- یک مجموعه‌ی خوش‌ترتیب ، مجموعه‌ای مرتب است که هر زیر مجموعه‌ی ناتهی آن دارای یک کوچکترین عضو باشد.
مثال
- مجموعه‌ی اعداد طبیعی با ترتیب معمولی ، خوش‌ترتیب است.
- مجموعه‌ی اعداد صحیح با ترتیب معمولی ، خوش‌ترتیب نیست.
- مجموعه‌ی اعداد گویا با ترتیب معمولی ، خوش‌ترتیب نیست.
- مجموعه‌ی اعداد حقیقی با ترتیب معمولی ، خوش‌ترتیب نیست.
- مجموعه‌ی اعداد صحیح منفی با ترتیب معمولی ، خوش‌ترتیب نیست.
- مجموعه‌ی اعداد صحیح با ترتیب زیر ، خوش‌ترتیب است:
... > 4 > 4- > 3 > 3- > 2 > 2- > 1 > 1- > 0
- مجموعه‌ی اعداد طبیعی با ترتیب زیر ، خوش‌ترتیب نیست:
1 > 2 > 3 > 4 > 5 > ...
همان‌طور که در مثال‌ها دیدید خاصیت خوش‌ترتیبی مربوط به رابطه‌ی تعریف شده روی مجموعه است و به خود مجموعه بستگی ندارد.
مثلا یگ مجموعه با یک
رابطه‌ی ترتیب خوش‌ترتیب است ولی با رابطه‌ی ترتیب دیگر خوش‌ترتیب نیست.
اگر در اصول خود ،
اصل انتخاب را بپذیریم آن‌گاه معادل این است که روی هر مجموعه رابطه‌ی ترتیبی می‌توان گذاشت که خوش‌ترتیب باشد. طبق این حکم می‌توان ترتیبی روی اعداد حقیقی قرار داد به قسمی که اعداد حقیقی خوش‌ترتیب باشند. با این حال هنوز کسی قادر به یافتن رابطه‌ای که با آن اعداد حقیقی خوش‌ترتیب شوند ، نشده است.
همچنین ببینید
پیوند‌های خارجی
http://en.wikipedia.org/wiki/Well_order
http://mathworld.wolfram.com/WellOrderedSet.html
