این مطلب از بخش آموزش وب‌سایت المپیاد ریاضی رشد،انتخاب شده که با فرمت pdf نیز در وب‌سایت المپیاد رشدموجود می‌باشد. برای مشاهده این موضوعات در وب‌سایت المپیاد، به آدرس فهرست مطالب ریاضی مراجعه کنید. همچنین می‌توانید با کلیک اینجا ، با ویژگی‌های بخش آموزش این وب‌سایت آشنا شوید.
همانطور که در ابتدای فصل قبل هم اشاره شد، حل مسایل معادلات تابعی روش معلوم و مشخصی ندارد، و دانش‌آموزان باید با آشنا شدن با تکنیکهای مختلف حل مساله، بتوانند پس از مدتی مهارت لازم را برای حل این دسته از مسایل المپیاد ریاضی کسب کنند. ، در این فصل سعی بر آنست تا با دسته‌بندی مشخصی ازاین ایده‌ها، روشهای دیگری را نیز برای حل مسایل معادلات تابعی ارائه دهیم.
انجام عملیات مناسب و مقدار گذاری عددی
این ایده که شاید بتوان گفت اصولاً روش حل بسیاری از مسایل نیز هست، در فصلهای قبل بطور کامل توضیح داده شد. حل کننده مساله باید بتواند با توجه به فرم معادلات تابعی، با عدد گذاری مناسب و یا با گرفتن از دو طرف و یا با دیگر عملیات‌های ریاضی، به نتایج مفیدی برسد. در اینجا برای تاکید بیشتر یک نمونه دیگر از چگونگی استفاده از این ایده را در حل مسایل، ذکر می‌کنیم.
اثبات. توجه کنید در اینجا با یکسری نامساوی روبرو هستیم و با قرار دادن اعداد مختلف در عبارت فوق به نابرابریهایی خواهیم رسید، لذا بسیار مهم است که با عددگذاری مناسب بتوانیم از نابرابریها به نتایج مهمی برسیم.
ابتدا قرار می دهیم ، بدست می‌آید
پس با توجه به حقیقی بودنمی توان براحتی نتیجه گرفت که
یا در ادامه قرار می دهیم، مشابهاً بدست می‌آید
بار دیگر را قرار می‌دهیم، خواهیم داشت:
(1)
و در پایان قرار می‌دهیم، بدست می‌آید
(2)
اکنون با توجه به روابط 2،1 می‌توان بسادگی نتیجه گرفت که به ازای هر، متحد با می‌باشد، یا به عبارتی تابع ثابت جواب مساله است، که البته بوضوح در شروط مساله هم صدق می‌کند.
در بسیاری از مسایل ریاضیات با با ساده کردن مساله، سعی می‌کنیم تا فرم جدیدی از مساله بدست آید که یا قبلاً آنرا حل کرده‌ایم، یا راه‌حلهای مسایل مشابه آنرا می‌دانیم. این نکته در مسایل معادلات تابعی نیز صادق است. البته به یقین خوانندگان در فصلهای ابتدایی و بخصوص فصل سیزدهم، مثالهای متنابهی را مشاهده کرده‌اند که با تغییر متغیر یا ساده‌سازی، حل مساله به معادلات کوشی منجر شد و چون معادلات کوشی راقبلاً حل کرده‌ایم، لذا حل مساله بطور کامل انجام می‌شود.
در اینجا برای آشنایی کامل و تاکید بیشتر، به حل یک مثال با این روش می‌پردازیم.
تمام توابع پیوسته را بیابید که برای هر داشته باشیم:
اثبات. سعی می‌کنیم با ساده‌سازی مساله، آنرا به یک فرم از پیش حل شده تبدیل کنیم.
قرار می‌دهیم ، بدست می‌آید:
(1)
و نیز
یا
اگر ، با جایگذاری در رابطه (1) بدست می‌آید ، که معادل می‌باشد. یعنی تابع می‌باشد. یعنی تابع در تمام مقادیر متحد صفر است. این یک جواب است که در شرط مساله و پیوستگی هم صدق می‌کند. اما اگر داشته باشیم ، مجدداً با جایگذاری در رابطه (1) خواهیم داشت:
(2)
اکنون نشان می‌دهیم با توجه به مقدار ، یا کاملاً منفی است یا کاملاً مثبت.
حالت اول. اگر ، در رابطه اصلی قرار می‌دهیم، خواهیم داشت:
بوضوح طرف راست معادله اخیر هیچگاه منفی نخواهد شد لذا ، یا به عبارتی داریم .
حالت دوم. و اگر باشد، بطور مشابه خواهیم داشت ، که نشان می‌دهد و معادل است با اینکه .
پس یا همواره مثبت است یا همواره منفی. لذا بسادگی با توجه به معادله (2) خواهیم داشت ، که همان مساله بیان شده در قبل می‌باشد.
در فصل قبل با حل چند مثال، تا حدودی روش حل مسایلی که شروطی مانند پیوستگی و یک به یک بودن را دارند، بررسی کردیم (مثالهای 2و3). در اینجا با ذکر مثالی این روش را یادآوری می‌کنیم.
فرض کنید تابعی پیوسته و نزولی باشد که برای هر داریم:
نشان دهید برای هر داریم اثبات. در رابطه اصلی مساله قرار می‌دهیم ، بدست می‌آید:
(1)
سپس در رابطه (1) قرار می‌دهیم بدست می‌آید:
(2)
با کم کردن روابط (1) و (2) از یکدیگر بدست می‌آوریم:
(3)
اگر برای یک داشته باشیم ، آنگاه سمت چپ رابطه (3) در منفی خواهد بود (زیرا تابع نزولی است)، پس برای سمت راست آن نیز بدست می‌آید:
که متناقض با فرض اولیه است. در حالتی هم که فرض کنیم ، بصورت مشابه می‌توان به تناقض رسید.
پس برای هر خواهیم داشت.
توجه کنید در حل مساله از شرط پیوستگی استفاده نکردیم. در واقع این شرط زائد می‌باشد.
در حل بعضی از مسایل معادلات تابعی مفید خواهد بود که توابع جدیدی طوری تعریف شوند که ضمن تبدیل شدن مساله به یک فرم ساده‌تر، شرطهای جدیدی هم بتوان روی توابع در نظر گرفت. بطور مثال اگر مقدار از تابع ، مقداری نامعلوم باشد، می‌توان با تعریف تابع به صورت ، در مورد تابع شرط را ایجاد کرد. یا با تعریف برای تابع ، رابطه را بدست آورد.
تمام توابع پیوسته را بیابید که برای هر داشته باشیم:
که در آن عددی ثابت و طبیعی است.
اثبات. ابتدا با جایگذاری ، در رابطه فوق بدست می‌آوریم:
(1)
پس برای دو حالت متفاوت در نظر می‌گیریم:
حالت اول. ، پس با توجه به رابطه (1) بسادگی بدست می‌آید . اکنون در رابطه اصلی قرار می‌دهیم، خواهیم داشت:
با استفاده از رابطه اخیر در رابطه اصلی، داریم:
پس تابعی پیوسته و جمعی است و از نوع توابع کوشی می‌باشد که در مثالی در بخشهای قبل ، جواب اینگونه توابع بصورت بدست آمد، که در آن عددی ثابت است. اکنون کافی است رابطه بدست آمده برای را در رابطه اصلی قرار دهیم تا از صحت جواب اطمینان حاصل نماییم:
که بوضوح درست است. پس در این حالت جواب مساله می‌باشد.
حالت دوم. در اینصورت معادله اصلی بصورت زیر خواهد بود:
خواننده می‌تواند شخصاً تلاش کند تا بتواند مقدار را محاسبه کند، مشاهده خواهد کرد که قابل محاسبه نمی‌باشد. یک راه حل جالب و در عین حال ساده، این است که تابع را بدین شکل تعریف کنیم ، بسادگی خواهیم داشت ، که با جایگذاری در رابطه فوق به عبارتی مشابه برایخواهیم رسید، یعنی . اما نکته مهم این است که شرط نیز به معادله اضافه شده است. اکنون قرار می‌دهیم
و از آنجا مشابه حالت اول بدست می‌آید
از طرفی با توجه به تعریف بر حسب، پیداست که نیز تابعی پیوسته خواهد بود، لذا از حل توابع کوشی داریم ، و از آنجا براحتی بدست می‌آید
دردو فصل قبل که با توابع کوشی آشنا شده‌اید، بیاد دارید که برای حل تابع جمعی روی اعداد حقیقی، ابتدا مساله را برای اعداد طبیعی یا صحیح حل کردیم، سپس برای اعداد گویا و در پایان برای کل اعداد حقیقی. البته در مواردی امکان دارد مثلاً داشته باشیم ، در اینصورت شاید مفید باشد که مثلاً برای اعداد زوج طبیعی و فرد طبیعی مساله جداگانه حل شود. این تشخیص با توجه به صورت مساله معادلات تابعی خواهد بود و خواننده باید با حل مسایل گوناگون این مهارت را کسب کند. برای مروری مثالهای حل شده قبلی در این مورد، می‌توانید به مثالهای حل شده قبلی در این مورد، می‌توانید به مثالهای 9و1و7 بخش قبل مراجعه کنید.
اکنون برای هر ثابت می کنیم . برای این کار از استقراء استفاده کرده و برای سه حالت مجزایو و را در نظر می‌گیریم.
با استقراء روی می‌خواهیم ثابت کنیم . بر پایه استقراء در، حکم قبلاً اثبات شده است. اکنون فرض می‌کنیم برای حکم ثابت شده است و می‌خواهیم برای اثبات را انجام دهیم. ابتدا فرض می‌کنیم مضربی از 3 باشد یعنی در اینصورت در رابطه اصلی بدین ترتیب جایگذاری انجام می‌دهیم : و به جای ، قرار می‌دهیم، بدست می‌آید:
اما با توجه به فرض استقراء می‌دانیم ( چون جزء اعداد خواهد بود)، لذا بدست می‌آید:
و حکم استقراء ثابت شد.
اکنون حالتی را در نظر می‌گیریم که باشد، مشابهاً داریم:
مشابه استدلال قبل داریم:
و در آخرین حالت اگر باشد، اثبات بدینگونه خواهد بود:
لذا برای کلیه اعداد طبیعی نشان دادیم. اکنون ثابت می‌کنیم ، زیرا داریم:
اما داشتیم پس بدست آمد و از رابطه فوق داریم:
حال کافی است قرار دهیم، بدست می‌آید
به عبارت دیگر برای هر بدست می‌آید ، یعنی تابعی ثابت است، که البته بوضوح در شرط مساله صدق می‌کند.
از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..
وزارت آموزش و پرورش > سازمان پژوهش و برنامه‌ريزی آموزشی
شبکه ملی مدارس ایران رشد
از دو طرف و یا با دیگر عملیات‌های ریاضی، به نتایج مفیدی برسد. در اینجا برای تاکید بیشتر یک نمونه دیگر از چگونگی استفاده از این ایده را در حل مسایل، ذکر می‌کنیم.
را پیدا کنید که برای هر 
داشته باشیم:
، بدست می‌آید
می توان براحتی نتیجه گرفت که
یا
، مشابهاً بدست می‌آید
را قرار می‌دهیم، خواهیم داشت:
، بدست می‌آید
، 
متحد با 
می‌باشد، یا به عبارتی تابع ثابت 
جواب مساله است، که البته بوضوح در شروط مساله هم صدق می‌کند.
را بیابید که برای هر
داشته باشیم:
، بدست می‌آید:
یا 
، با جایگذاری در رابطه (1) بدست می‌آید
، که معادل
می‌باشد. یعنی تابع
می‌باشد. یعنی تابع
در تمام مقادیر متحد صفر است. این یک جواب است که در شرط مساله و پیوستگی هم صدق می‌کند. اما اگر داشته باشیم
، مجدداً با جایگذاری در رابطه (1) خواهیم داشت:
، در رابطه اصلی قرار می‌دهیم
، خواهیم داشت:
، یا به عبارتی داریم 
.
باشد، بطور مشابه خواهیم داشت 
، که نشان می‌دهد
و معادل است با اینکه 
.
یا همواره مثبت است یا همواره منفی. لذا بسادگی با توجه به معادله (2) خواهیم داشت 
، که همان مساله بیان شده در قبل می‌باشد.
تابعی پیوسته و نزولی باشد که برای هر
داریم:
بدست می‌آید:
داشته باشیم 
، آنگاه سمت چپ رابطه (3) در
منفی خواهد بود (زیرا تابع
، بصورت مشابه می‌توان به تناقض رسید.
.
از تابع
به صورت 
، در مورد تابع
شرط
را ایجاد کرد. یا با تعریف 
برای تابع
را بدست آورد.
داشته باشیم:
عددی ثابت و طبیعی است.
دو حالت متفاوت در نظر می‌گیریم:
، پس با توجه به رابطه (1) بسادگی بدست می‌آید 
تابعی پیوسته و جمعی است و از نوع توابع کوشی می‌باشد که در مثالی در بخشهای قبل ، جواب اینگونه توابع بصورت
بدست آمد، که در آن
عددی ثابت است. اکنون کافی است رابطه بدست آمده برای
می‌باشد.
در اینصورت معادله اصلی بصورت زیر خواهد بود:
را بدین شکل تعریف کنیم
، بسادگی خواهیم داشت
، که با جایگذاری در رابطه فوق به عبارتی مشابه برای
. اما نکته مهم این است که شرط
، و از آنجا براحتی
، در اینصورت شاید مفید باشد که مثلاً برای اعداد زوج طبیعی و فرد طبیعی مساله جداگانه حل شود. این تشخیص با توجه به صورت مساله معادلات تابعی خواهد بود و خواننده باید با حل مسایل گوناگون این مهارت را کسب کند. برای مروری مثالهای حل شده قبلی در این مورد، می‌توانید به مثالهای حل شده قبلی در این مورد، می‌توانید به مثالهای 9و1و7 بخش قبل مراجعه کنید.
را بیابید که برای هر 
داشته باشیم:
ثابت می کنیم
. برای این کار از استقراء استفاده کرده و برای
و
و
را در نظر می‌گیریم.
. بر پایه استقراء در
، حکم قبلاً اثبات شده است. اکنون فرض می‌کنیم برای
حکم ثابت شده است و می‌خواهیم برای
اثبات را انجام دهیم. ابتدا فرض می‌کنیم
و به جای
،
قرار می‌دهیم، بدست می‌آید:
( چون 
جزء اعداد
خواهد بود)، لذا بدست می‌آید:
باشد، مشابهاً داریم:
باشد، اثبات بدینگونه خواهد بود:
، زیرا داریم:
پس بدست آمد
، بدست می‌آید
، یعنی