اصل موضوع مجموعه تهی (Axiom of empty set)
آشنایی
حتما تا به حال با مجموعه‌های زیادی آشنا شده‌اید، مثلاً مجموعه اعداد صحیح یا مجموعه حروف الفباو ... . می‌دانید که برای شناختن یک مجموعه کافی است اعضای آن را مشخص کنیم و شما حتما تا به حال این کار را انجام داده‌اید. اما ممکن است در این میان یک سوال پیش بیاید و آن این است که آیا مجموعه‌ای وجود دارد که دارای هیچ عضوی نباشد؟ اگر چنین مجموعه‌ای وجود دارد آیا یکتا است یا حداقل دو نمونه از آن وجود دارد؟ این این قسمت به بررسی پاسخ این سوالات می‌پردازیم.
اصل موضوع مجموعه تهی
خوب برای اینکه چیزی در دست داشته باشیم بیاید فرض کنیم مجموعه‌ای وجود دارد و آن را A می‌نامیم. یکی از اولین نتایج این فرض به ظاهر بی‌آزار این است که مجموعه بی‌هیچ عضو وجود دارد. به عبارت دیگر خاصیت
یا هر خاصیت همواره غلط دیگر را برای عناصر مجموعه A به کار بگیرید. برطبق
اصل موضوع تصریح،
یک مجموعه است و وضوحاً دارای هیچ عضوی نمی‌باشد. پس مجموعه‌ای بی‌هیچ عضو وجود دارد همچنین اصل موضوع گیترش یگانگی چنین مجموعه‌ای را تضمین می‌کند. پس اصل موضوع زیر را داریم:
| دقیقاً یک مجموعه بی‌هیچ عضو داریم. |
چنین مجموعه‌ای لایق یک نام و نماد مناسب است. این
مجموعه را
مجموعه تهی(empty set) یا مجموعه پوچ(null set) می‌نامیم و با
یا { } نمایش می‌دهیم. از جمله خواص مجموعه تهی این است که زیرمجموعه همه مجموعه‌ها است. برای اثبات این مطلب فرض کنید A یک مجموعه دلخواه باشد. اگر تهی زیرمجموعه A نباشد پس حتماً عضوی در تهی وجود دارد که به A تعلق ندارد ولی این امر محال است چون تهی اصلا عضوی ندارد. پس
غلط نمی‌باشد(پس درست است) و لذا تهی زیرمحموعه همه مجموعه‌ها است.
همچنین ببینید:
