کاربردهای فیزیکی انتگرالهای چندگانه


مقدمه

بنابر نظریه مولکولی ماده ، هر قطعه از یک جسم مجموعه‌ای از مولکولهاست و در نتیجه جرم آن مجموع جرمهای مولکوهای سازنده آن است. ولی اکثر اجسام فیزیکی که به آنها سروکار داریم از تعداد بسیار زیادی مولکول تشکیل شده‌اند و محاسبه مجموع جرمهای این مولکولها حتی توسط کامپیوترهای جدید غیر ممکن است. قبلا در انتگرال یک‌گانه ، با استفاده از انتگرال توابع یک‌متغیره ، جرم ، مرکز جرم و گشتاورها یک ورق مسطحه را که جرم آن بطور یکنواخت یا همگن در سراسر آن توزیع شده باشد، مورد مطالعه قرار دادیم. با استفاده از انتگرالهای دوگانه و سه‌گانه می‌توان این مفاهیم را به اجسام ناهمگن مسطحه و فضایی تعمیم داد.

جرم یک ورق مسطحه

فرض کنیم جرم جسم در سراسر R توزیع شده است. در اینصورت تابع چگالی که توسط تعریف می‌شود در R پیوسته (و مثبت) است و در نتیجه


جرم یک جسم فضایی

فرض کنیم یک جسم فضایی به ناحیه D محدود باشد. اگر جرم جسم در سراسر آن به طور یکنواخت توزیع شده باشد، تابع چگالی در D پیوسته (و مثبت) می‌شود. در نتیجه داریم



گشتاور (اول) و مرکز جرم ورق مسطحه

اگر ورق مسطحه R را افراز کنیم، آنگاه گشتاور (دقیقتر بگوییم، گشتاور اول) نقطه نسبت به محور x برابر است با . بنابراین ، گشتاور R نسبت به محور x برابر است با



به همین ترتیب ، گشتاور R نسبت به محور y برابر است با



در نتیجه ، مرکز جرم ورق مسطحه R به جرم m ، نقطه است، که در آن



گشتاور دوم (یا ماند) ورق مسطحه

گشتاورهای دوم یا گشتاورهای ماند ورق مسطحه R حول محورهای y,x به ترتیب برابرند با




به همین ترتیب ، گشتاور R نسبت به مبدا مختصات یا گشتاور قطبی R برابر است با



ملاحظه می‌کنیم که . توجه کنید که چون مثبت هستند. پس گشتاورهای دوم یک جسم همواره مثبت اند. در حالی که این مطلب در مورد گشتاورهای اول صادق نیست.

گشتاور (اول) و مرکز جرم یک جسم فضایی

فرض کنیم چگالی هر نقطه یک جسم محدود به ناحیه فضایی D برابر است با . در اینصورت گشتاورهای (اول) این جسم حول صفحه‌های xy ، xz و yz به ترتیب برابرند با





اگر m نمایش جرم این جسم باشد، مختصات مرکز جرم آن عبارتند از





گشتاور ماند یک جسم فضایی

گشتاورهای دوم یک جسم محدود به ناحیه فضایی D حول محورهای z,y,x به ترتیب برابرند با





مباحث مرتبط با عنوان


تعداد بازدید ها: 34208