|
قضیه دوم یکریختی گروهها
اگر
دو زیر گروه 
باشند ، به‌طوری‌که 
نرمال در باشد ، آنگاه 
زیرگروه نرمال در 
است و:
اثبات:
چون
، بنابراین 
که معادل است با 
.
بدیهی است
. زیرا 
.بنابراین گروه خارج‌قسمتی 
تعریف شده می‌باشد.
حال نشان می‌دهیم
با ضابطۀ زیر یک اپی‌مورفیسم است:
اما
خوش‌تعریف است .زیرا:
هم‌ریختی نیز می‌باشد. چرا که:
اکنون به بررسی پوشا بودن
می‌پردازیم :
در نتیجه
یک اپی‌مورفیسم است. بنابراین طبق قضیه اول یکریختی گروهها داریم :
حال کافیست نشان دهیم
. اما :
اما می دانیم
است . بنابراین 
و 
.
نتیجه:
اگر یک گروه متناهی و 
باشند و 
، آنگاه :
اثبات:
طبق قضیه دوم یکریختی گروهها:
