فاکتوریل ها





فاکتوریل

حال که با اصول جمع وضرب آشنا شدید، خوب است به معرفی فاکتوریل بپردازیم .

مثال

با حروف کلمة چند کلمة 7 حرفی با حروف متمایز می‌توان ساخت؟
حل.
حرف اول این کلمة هفت حرفی هر یک از حروفمی‌تواند باشد (7 طریق). حرف دوم، نمی‌تواند همان حرف اول باشد، بنابراین به 6 طریق می‌تواند انتخاب شود. حرف سوم، نمی‌تواند حرف اول یا دوم باشد، بنابراین به 5 طریق می‌تواند انتخاب شود، به همین ترتیب حرف چهارم، پنجم ، ششم و هفتم به ترتیب، به 4 ، 3 ، 2 و 1 طریق می‌توانند انتخاب شوند. پس طبق اصل ضرب، 7 کلمة 7 حرفی با حروف کلمة می‌توان ساخت.

تعریف فاکتوریل

به ازای هر عدد صحیح ( که فاکتوریل، خوانده می‌شود) به صورت زیر تعریف می‌شود:


با توجه به تعریف فاکتوریل، جواب مثال قبلی برابر است با ، همچنین داریم:

مثال

با حروف چند کلمة 3 حرفی با حروف متمایز، می‌توان ساخت؟
فرض کنید که هر ترکیب سه حرفی از حروف بالا، تشکیل یک کلمه را می‌دهد. مثلاً کلمة یک کلمة مجاز است ولی کلمة ، یک کلمة غیرمجاز است زیرا حرف دوبار تکرار شده است. هم چنین کلمة با کلمة ، فرق دارد.
حل.
حرف اول این کلمة سه حرف هر یک از حروف می‌تواند باشد (5 طریق). حرف دوم، نمی‌تواند همان حرف اول باشد، بنابراین به 4 طریق می‌تواند انتخاب شود. حرف سوم، نمی‌تواند همان حرف اول یا دوم باشد، بنابراین به 3 طریق می‌تواند انتخاب شود. پس طبق اصل ضرب ، کلمة مختلف وجود دارد.

مثال

مقدار را برای و و نیز در حالت و محاسبه نمائید و جواب‌ها را با هم مقایسه نمائید.
حل.





مثال

ثابت کنید برای
حل.
به راحتی استقرا می‌زنیم:

حال فرض می‌کنیم باشد برای داریم:


از طرفی


لذا حکم ثابت است.

مثال

ثابت کنید
حل.
به سادگی داریم:



پیوند های خارجی

http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0018.pdf

همچنین ببینید





تعداد بازدید ها: 52242