بدیهیات: کلمه
axiom از از لغت یونانی
axioma) αξιωμα ) ، که به معنی چیزی است که می پنداریم با ارزش یا شایسته است یا چیزی که واقعا
خود-مشهود فرض شده است. لغت آن از کلمه
axioein) αξιοειν ) ، به معنی چیزی که به نظر با ارزش داشتن، که بنوبه خود از کلمه
axios) αξιος )، به معنی با ارزش گرفته شده است. در میان
فلاسفه یونان قدیم یک
مفهوم بدیهی ، یک "ادعا" بود که درستی آن، بدون هیچ نیازی به دلیل، قابل مشاهده بود.
در
واژه شناسی، یک
مفهوم بدیهی یک حقیقت
خود-مشهود است که بر اساس آن دانشهای دیگر باید استوار شوند، یا دانشهای دیگر از آن ساخته می شوند. دست کم میتوان گفت که تمام اپیستمولوجیستها اینکه بدیهیات ، تفهیم شده در این معنی، وجود دارند را قبول ندارند.
از آنجائیکه
بدیهیات در
ریاضیات قابل درک و فهم خواهد بود، یک مفهوم بدیهی، یک قضیه که خود-مشهود،
نیست. بلکه خیلی ساده به معنی نقطه شروعی در یک سیستم منطقی است. برای مثال، در بعضی
حلقهها، عملکرد ضرب خاصیت جابجایی دارد، و در بعضی ندارد؛ آن حلقه هایی دارای این خاصیت
می باشد، کفته می شود که "مفهوم بدیهی جابجایی ضرب را ارضاء می کند." یک اسم دیگر برای بدیهیات
قیاس منطقی است. یک قضیه بدیهی یک عنصر پایه ای برای سیستم رسمی
منطقی است که بهمراه قوائد استنتاج شده، یک منطق را تعریف می کنند.
برای نمونه، ( نقل قول بد
Peano) علم حساب ساده، با مفروضات ذیل، شامل جمع میتواند تعریف شده و بسیاری از
تئوریها اثبات گردد.
- یک عدد بنام 0 وجود دارد.
- هر عدد X یک عدد بعدی بنام (inc(X دارد.
- X + 0 = X
- inc(X) + Y = X + inc(Y)
با استفاده از این بدیهیات، و تعریف نامهای کوتاه مرسوم 1، 2، 3، و مانند آن به ترتیب برای inc(0)، inc(inc(0»، inc(inc(inc(0») ، می توان نشان دهیم که:
:inc(X) = X + 1
و
1 +2 = 1 + inc(1) بسط اختصار «2 = inc(1)
1 + 2 = inc(1) + 1 بدیهی 4
1 + 2 = 2 + 1 اختصار «2 = inc«1)
1 + 2 = 2 + inc(0) بسط اختصار «1 = inc(0)
1 + 2 = inc(2) + 0 بدیهی 4
1 + 2 = 3 بدیهی 3 و استفاده از اختصار «inc(2) = 3
هر حقیقت مسلمی را که از بدیهیات استنتاج می کنیم لزوما یک بدیهی نیست. هر چیزی را که نمی توانیم از بدیهیات استنتاج کرده و همچنین نتوانیم نقض آنرا نیز استنتاج کنیم ممکن است عاقلانه به بدیهیات اضافه گردد.
شاید مشهور ترین و قدیمی ترین بدیهیات 4+1
قیاسهای منطقی اقلیدس هستند. اینها روشن نمودند که بطور منصفانه ای ناقص هستند، عملا، و قیاس های منطقی بیشتری برای توصیف کامل هندسه اش لازم
است
هیلبرت 23 مورد بیان کرد).
ما 4+1 میگوئیم از آنجائیکه استنتاج پنجمین قیاس ( از یک نقطه خارج از یک خط فقط یک خط موازی میتوان رسم نمود) از 4 قیاس اول، نزدیک به 2 هزار سال مورد شک بوده است. نهایتا مشخص گردید که پنجمین قیاس مستقل از چهار قیاس اول است. در حقیقت ممکن است تصور کرد که هیچ خط موازی قابل رسم از یک نقطه خارج از خط وجود ندارد، که دقیقا یک وجود دارد، یا تعداد نامحدودی وجود دارد. این انتخابها فرمهای جایگزین هندسه را ارائه میدهند که در آن زوایای داخلی یک مثلث کمتر، دقیقا برابر یا بیشتر از یک خط مستقیم به ترتیب میباشند که به هندسه های
بیضوی،
اقلیدسی، و
هایپربولیک مشهور می باشند.
تئوری نسبیت عام ذاتا یک ادعا است مبنی بر اینکه جرم به فضا هندسه هایپربولیکی می دهد.
این واقعیت که فرمهای جایگزین هندسه ممکن است وجود داشته باشد، باعث آشفتگی در ریاضیات و پیشرفتهای مشابه قرن نوزدهم، مانند
جبر بولین گردید، که تلاشهای عام استادانه ای برای استنتاج سیستم از سیستمهای علم حساب معمولی انجام شده بود.
گالیوس درست قبل از مرگ نابهنگامش نشان داد که این تلاشها کاملا بیهوده بوده است ولی توازی های جدی بین سیستمهای بدیهی میتواند استفاده مفید داشته باشد، همانطوریکه او بصورت جبری تعداد زیادی از مسائل کلاسیک هندسی را حل کرد. نهایتا، توازی های مجرد بین سیستمهای جبری مهمتر از جزئیات مورد توجه قرار گرفته و
جبر مدرن تولد یافت.
در قرن بیستم،
تئوری ناقص Gödel نشان داد که هیچ گروه بدیهیات صریح( مانند
برگردنده؟؟؟) گه به اندازه کافی بزرگ باشند نمیتوانند برای ریاضیات معمولی هم (1) کامل باشند(مانند هر بیانی که بتوانیم آنرا اثبات یا ابطال نمائیم). (2) سازگار باشد (مانند اینکه هیچ بیانی وجود ندارد که بشود آنرا هم اثبات و هم باطل نمود).
رجوع شود به:
ارتباط خارجی