تاریخچه ی:
گروه مشتق
||V{maketoc}||
^@#16:
!جابجاگر
اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} مینامند و نشان میدهیم :
@@{TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}@@
* اگر {TEX()} {G} {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس.
*در حالت کلی ((مجموعه)) تمام جابجاگرها یک ((گروه)) را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجاگر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
* برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم:
@@{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@
---
!گروه مشتق ( گروه جابجاگرها )
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم :
@@{TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}@@
که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را __گروه مشتق__ یا __جابجاگر__ های {TEX()} {G} {TEX} می نامند.
---
!قضیهها
!!قضیه 1.
اگر {TEX()} {G } {TEX} یک ((گروه)) باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX}
__اثبات :__
میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}.
حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}:
@@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@
بنابراین:
@@{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@
لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}:
@@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@
!!قضیه 2.
اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX}
__اثبات:__
فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند.
میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی ((گروه خارج قسمتی)) {TEX()} {G/N} {TEX} است.
جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر میگیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر:
@@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@
---
!همچنین ببینید
*((زیرگروه جابجایی))
---
!پیوندهای خارجی
[mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html]
#@^