^@#16:
جابجاگر
اگر
، آنگاه عنصر
را جابجاگر
مینامند و نشان میدهیم :
- اگر گروه جابجایی باشد ،آنگاه و برعکس.
- در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجاگر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
- برای هر داریم:
گروه مشتق ( گروه جابجاگرها )
اگر
یک گروه باشد ، مجموعه
را به صورت زیر تعریف می کنیم :
که
معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است .
را
گروه مشتق یا
جابجاگر های
می نامند.
قضیهها
قضیه 1.
اگر
یک
گروه باشد ،آنگاه
اثبات :
میدانیم
.زیرا
و همچنین
.
حال فرض می کنیم
دلخواه باشند . ثابت کنیم
:
بنابراین:
لذا
. حال ثابت می کنیم
:
قضیه 2.
اگر
و همچنین
باشد ،آنگاه
جابجایی است اگر و فقط اگر
اثبات:
فرض کنیم
عناصر دلخواه
باشند.
میدانیم
عنصر خنثی
گروه خارج قسمتی است.
جابجاگر دلخواه
را از گروه
در نظر میگیریم . آنگاه
جابجایی است ، اگر و تنها اگر:
همچنین ببینید
پیوندهای خارجی
mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html