تاریخچه ی:
گروه مشتق
تفاوت با نگارش: 3
| ||V{maketoc}|| | | ||V{maketoc}|| |
| ^@#16: | | ^@#16: |
| !جابجاگر | | !جابجاگر |
| اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} مینامند و نشان میدهیم : | | اگر {TEX()} {a,b \in G} {TEX} ، آنگاه عنصر {TEX()} {aba^{-1}b^{-1}} {TEX} را جابجاگر {TEX()} {a,b} {TEX} مینامند و نشان میدهیم : |
| @@{TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}@@ | | @@{TEX()} {aba^{-1}b^{-1}=[a,b] \equiv ab=[a,b] ba } {TEX}@@ |
| * اگر {TEX()} {G} {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس. | | * اگر {TEX()} {G} {TEX} ((گروه جابجایی)) باشد ،آنگاه {TEX()} {[a,b]=e} {TEX} و برعکس. |
| *در حالت کلی ((مجموعه)) تمام جابجاگرها یک ((گروه)) را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجاگر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد . | | *در حالت کلی ((مجموعه)) تمام جابجاگرها یک ((گروه)) را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجاگر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد . |
| * برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم: | | * برای هر {TEX()} {a,b \in G } {TEX} داریم: |
| @@{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@ | | @@{TEX()} {[a,b]^{-1}=(aba^{-1}b^{-1})^{-1}=bab^{-1}a^{-1}=[b,a] } {TEX}@@ |
| --- | | --- |
| !گروه مشتق ( گروه جابجاگرها ) | | !گروه مشتق ( گروه جابجاگرها ) |
| اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم : | | اگر {TEX()} {G } {TEX} یک گروه باشد ، مجموعه {TEX()} { G^\prime } {TEX} را به صورت زیر تعریف می کنیم : |
| @@{TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {G^\prime = {\prod [a_i,b_i] | a_i,b_i \in G} {TEX}@@ |
| که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را __گروه مشتق__ یا __جابجاگر__ های {TEX()} {G} {TEX} می نامند. | | که {TEX()} {\prod} {TEX} معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است . {TEX()} {G^\prime} {TEX} را __گروه مشتق__ یا __جابجاگر__ های {TEX()} {G} {TEX} می نامند. |
| --- | | --- |
| !قضیهها | | !قضیهها |
| !!قضیه 1. | | !!قضیه 1. |
| اگر {TEX()} {G } {TEX} یک ((گروه)) باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX} | | اگر {TEX()} {G } {TEX} یک ((گروه)) باشد ،آنگاه {TEX()} {G^\prime \le G , G^\prime \triangleleft G } {TEX} |
| __اثبات :__ | | __اثبات :__ |
| میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}. | | میدانیم {TEX()} {G^\prime \neq \varnothing} {TEX}.زیرا{TEX()} {[e,e] \in G^\prime} {TEX} و همچنین {TEX()} {G^\prime \subseteq G} {TEX}. |
| حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}: | | حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in G^\prime} {TEX} دلخواه باشند . ثابت کنیم {TEX()} {xy^{-1} \in G^\prime} {TEX}: |
| @@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {x,y \in G^\prime \Rightarrow x=\prod [a_i,b_i] , y= \prod [c_i,d_i]} {TEX}@@ |
| بنابراین: | | بنابراین: |
| @@{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {xy{-1}=\prod [a_i,b_i] (\prod [c_i,d_i])^{-1}=\prod [a_i,b_i] [d_i,c_i] \in G^\prime} {TEX}@@ |
| لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}: | | لذا {TEX()} {G^\prime \le G} {TEX}. حال ثابت می کنیم {TEX()} { G^\prime \triangleleft G } {TEX}: |
| @@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@ | | @@{TEX()} {\forall x \in G , a \in G^\prime : xax^{-1}=xax^{-1}a^{-1}a=[x,a] a \in G^\prime} {TEX}@@ |
| !!قضیه 2. | | !!قضیه 2. |
| اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX} | | اگر {TEX()} {N \le G } {TEX} و همچنین {TEX()} { N \triangleleft G } {TEX} باشد ،آنگاه {TEX()} {G/N } {TEX} جابجایی است اگر و فقط اگر {TEX()} {G^\prime \subseteq N } {TEX} |
| __اثبات:__ | | __اثبات:__ |
| فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند. | | فرض کنیم {TEX()} {a,b} {TEX} عناصر دلخواه {TEX()} {G} {TEX} باشند. |
- | میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی ((گروه خارج قسمتی)) {TEX()} {G/N} {TEX} است. |
+ | میدانیم {TEX()} {eN=N} {TEX} عنصر خنثی ((زیرگروه خارجقسمتی)) {TEX()} {G/N} {TEX} است. |
| جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر میگیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر: | | جابجاگر دلخواه {TEX()} {[a,b]} {TEX} را از گروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} در نظر میگیریم . آنگاه {TEX()} {G/N} {TEX} جابجایی است ، اگر و تنها اگر: |
| @@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@ | | @@ {TEX()} {[aN,bN]=N \Rightleftarrow aNbNa^{-1}Nb^{-1}N=N \Rightleftarrowaba^{-1}b^{-1}N=N \Rightleftarrow aba^{-1}b^{-1} \in N \Rightleftarrow [a,b] \in N \Rightleftarrow G^\prime \subseteq N } {TEX}@@ |
| --- | | --- |
| !همچنین ببینید | | !همچنین ببینید |
- | *((گروه خارجقسمتی)) |
+ | *((زیرگروه خارجقسمتی)) |
| --- | | --- |
| !پیوندهای خارجی | | !پیوندهای خارجی |
| [mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html] | | [mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html] |
| #@^ | | #@^ |