تاریخچه ی:
گروه دوری
||V{maketoc}||
::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G } {TEX} را یک __گروه دوری__ می نامند هر گاه {TEX()} {G } {TEX} توسط یک عنصر خودش تولید شود.#@||::
^@#16:
!((مولد گروه)) دوری
فرض کنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند {TEX()} {x \in G} {TEX} گروه {TEX()} {G } {TEX} را پدید آورد ، می نویسیم {TEX()} {G=<x>} {TEX} و {TEX()} {x} {TEX} را ((مولد گروه)) {TEX()} {G } {TEX} مینامیم.
* مولد هر ((گروه)) لزوما منحصر به فرد نیست.
* در گروه {TEX()} {(Z_n,\oplus)} {TEX} عدد{TEX()} {m} {TEX} مولد {TEX()} {Z_n} {TEX} است که {TEX()} {(m,n)=1} {TEX}
* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه|گروه ضربی)) باشد و {TEX()} {x} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {G=<x>=\{x^n | n \in Z\}} {TEX}
* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه|گروه جمعی)) باشد و{TEX()} {a} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {G=<a>=\{na | n \in Z\} } {TEX}
---
!قضیهها
!!1. هر گروه دوری جابجایی است.
__اثبات:__
فرض میکنیم {TEX()} {G } {TEX} گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه {TEX()} {G=<x> , x \in G} {TEX}. بنابراین هر عضو {TEX()} {G } {TEX} به صورت توانی از {TEX()} {x} {TEX} است . حال فرض میکنیم عناصر دلخواه {TEX()} {a,b \in G} {TEX} را داریم. در نتیجه:
@@{TEX()} {\exists m,n \in Z ; a=x^n , b=x^m} {TEX}@@
لذا:
@@{TEX()} {a.b=x^n.x^m=x^{n+m}=x^{m+n}=x^m.x^n=b.a} {TEX}@@
پس {TEX()} {G } {TEX} ((گروه جابجایی)) است.
__تذکر:__
عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال ((گروه چهارتایی کلاین)) ، {TEX()} {v_4} {TEX} ، ((گروه جابجایی)) است اما دوری نیست.
!!2. هر ((زیرگروه)) یک گروه دوری ، دوری است.
__اثبات:__
فرض میکنیم {TEX()}{G }{TEX} یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند {TEX()}{a \in G}{TEX} وجود دارد که{TEX()} {G=<a>} {TEX} .یعنی هر عنصری از {TEX()}{G }{TEX} به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است.
حال فرض میکنیم {TEX()}{H}{TEX} یک ((زیرگروه)) دلخواهی از {TEX()}{G }{TEX} باشد. نشان میدهیم {TEX()}{H}{TEX} دوری است:
اما چون {TEX()}{H \le G}{TEX} بنابراین هر عضو {TEX()}{H}{TEX} نیز به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است. بنا براین یک ((عدد طبیعی)) مانند {TEX()}{n}{TEX} وجود دارد که {TEX()}{a^n \in H}{TEX}.
فرض میکنیم {TEX()}{m}{TEX} کوچکترین ((عدد طبیعی)) باشد که {TEX()}{a^m \in H}{TEX}. با فرض {TEX()}{a^m=c}{TEX} ثابت میکنیم {TEX()}{H}{TEX} توسط {TEX()}{c}{TEX} تولید میشود:
حال فرض میکنیم {TEX()}{b }{TEX} عنصر دلخواهی از {TEX()}{H }{TEX} باشد. بنابراین میتوان {TEX()}{b=a^n}{TEX} در نظر گرفت که {TEX()}{m \le n }{TEX}. طبق ((الگوریتم تقسیم)) داریم:
@@{TEX()}{n=mq+r}{TEX}@@
در نتیجه:
@@{TEX()}{a^n=a^{mq+r}=a^{mq}.a^r \Rightarrow a^r=a^n.{a^m}^{-q} \in H }{TEX}@@
چون{TEX()}{m}{TEX} کوچکترین ((عدد طبیعی)) است که {TEX()}{a^m \in H}{TEX} و{TEX()}{0 \le r <m}{TEX}، بنابراین {TEX()}{r }{TEX} ((عدد طبیعی)) نیست. پس برای {TEX()}{r}{TEX} فقط اتنخاب {TEX()}{r=0 }{TEX} ممکن است . پس:
{TEX()}{a^n=(a^m)^q=c^q }{TEX}
که به این معنا است که {TEX()}{H}{TEX} دوری است و مولد آن {TEX()}{c}{TEX} است.
---
!همچنین ببینید
*((گروه))
*((جایگشت))
---
پیوندهای خارجی
[http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group]
#@^