گروه دوری:
گروه
را یک گروه دوری می نامند هر گاه
توسط یک عنصر خودش تولید شود.
مولد گروه:
فرض کنیم
یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند
گروه
را پدید آورد ، می نویسیم
و
را مولد گروه
مینامیم.
نکته:
1 . مولد هر گروه لزوما منحصر به فرد نیست.
2 . در گروه
عدد
مولد
است که
3 . اگر
گروه ضربی باشد و
مولد
باشد ، آنگاه:
4 . اگر
گروه جمعی باشد و
مولد
باشد ، آنگاه:
قضیه:
هر گروه دوری جابجایی است.
اثبات:
فرض میکنیم
گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه
. بنابراین هر عضو
به صورت توانی از
است . حال فرض میکنیم عناصر دلخواه
را داریم. در نتیجه:
لذا:
پس
گروه جابجایی است.
تذکر:
عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال گروه چهارتایی کلاین
گروه جابجایی است اما دوری نیست.
قضیه:
هر زیرگروه یک گروه دوری ، دوری است:
اثبات:
فرض میکنیم
یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند
وجود دارد که
.یعنی هر عنصری از
به صورت توانی از
است.
حال فرض میکنیم
یک زیرگروه دلخواهی از
باشد. نشان میدهیم
دوری است:
اما چون
بنابراین هر عضو
نیز به صورت توانی از
است. بنا براین یک عدد طبیعی مانند
وجود دارد که
.
فرض میکنیم
کوچکترین عدد طبیعی باشد که
. با فرض
ثابت میکنیم
توسط
تولید میشود:
حال فرض میکنیم
عنصر دلخواهی از
باشد. بنابراین میتوان
در نظر گرفت که
. طبق قضیه الگوریتم تقسیم:
در نتیجه:
چون
کوچکترین عدد طبیعی است که
و
، بنابراین
عدد طبیعی نیست. پس برای
فقط اتنخاب
ممکن است . پس:
که به این معنا است که
دوری است و مولد آن
است.