تاریخچه ی:
گروه دوری
تفاوت با نگارش: 2
| - | گروه دوری:
گروه {TEX()} {G } {TEX} را یک گروه دوری می نامند هر گاه {TEX()} {G } {TEX} توسط یک عنصر خودش تولید شود.
مولد گروه:
فرض کنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند {TEX()} {x \in G} {TEX} گروه {TEX()} {G } {TEX} را پدید آورد ، می نویسیم {TEX()} {G=<x>} {TEX} و {TEX()} {x} {TEX} را مولد گروه {TEX()} {G } {TEX} مینامیم.
نکته:
1 . مولد هر گروه لزوما منحصر به فرد نیست.
2 . در گروه {TEX()} {(Z_n,\oplus)} {TEX} عدد{TEX()} {m} {TEX} مولد {TEX()} {Z_n} {TEX} است که {TEX()} {(m,n)=1} {TEX}
3 . اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه ضربی باشد و {TEX()} {x} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه: />{TEX()} {G=<x>={x^n | n \in Z}} {TEX}
4 . اگر {TEX()} {G } {TEX} گروه جمعی باشد و{TEX()} {a} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه: />{TEX()} {G=<a>={na | n \in Z} } {TEX}
قضیه:
هر گروه دوری جابجایی است.
اثبات:
فرض میکنیم {TEX()} {G } {TEX} گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه {TEX()} {G=<x> , x \in G} {TEX}. بنابراین هر عضو {TEX()} {G } {TEX} به صورت توانی از {TEX()} {x} {TEX} است . حال فرض میکنیم عناصر دلخواه {TEX()} {a,b \in G} {TEX} را داریم. در نتیجه:
{TEX()} {\exists m,n \in Z ; a=x^n , b=x^m} {TEX} |
+ | ||V{maketoc}||
{DYNAMICMENU()}
__واژه‌نامه__
*((واژگان جبر))
__مقالات مرتبط__
*((معادله))
*((استقرا))
*((اتحاد))
*((تجزیه))
*((ماتریس))
*((گروه)) />*((حلقه))
*((میدان))
*((فضای برداری))
__کتابهای مرتبط__
*((کتابهای جبر))
__[ http://217.218.177.31/mavara/mavara-view_forum.php?forumId=29 |انجمن ریاضی]__
__سایتهای مرتبط__
*سایتهای داخلی
**[http://www.tebyan.net/|تبیان]
**[http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA|ویکی پدیای فارسی]
*سایتهای خارجی
**[http://www.ucs.louisiana.edu/~sxw8045/history.htm|تاریخ پیدایش جبر]
**[http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsAlgebra.shtml|سایت مفاهیم جبری]
**[http://www.sparknotes.com/math/#algebra1|راهنمای مطالعه جبر]
**[http://www.bagatrix.com/algebra.htm|حل آنلاین مسائل جبری]
**[http://www.exampleproblems.com|سوالات متنوع جبری]
__گالری تصویر__
*[http://217.218.177.31/mavara/mavara-browse_gallery.php?galleryId=12|گالری علوم]
body=
|~|
{DYNAMICMENU}
::||@#16:((گروه)) {TEX()} {G } {TEX} را یک __گروه دوری__ می نامند هر گاه {TEX()} {G } {TEX} توسط یک عنصر خودش تولید شود.#@||::
^@#16:
!((مولد گروه)) دوری
فرض کنیم {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه دوری است . اگر عنصری مانند {TEX()} {x \in G} {TEX} گروه {TEX()} {G } {TEX} را پدید آورد ، می نویسیم {TEX()} {G=<x>} {TEX} و {TEX()} {x} {TEX} را ((مولد گروه)) {TEX()} {G } {TEX} منامیم.
* مولد هر ((گروه)) لزوما منحصر به فرد نیست.
* در گروه {TEX()} {(Z_n,\oplus)} {TEX} عدد{TEX()} {m} {TEX} مولد {TEX()} {Z_n} {TEX} است که {TEX()} {(m,n)=1} {TEX}
* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه|گروه ضربی)) باشد و {TEX()} {x} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {G=<x>=\{x^n | n \in Z\}} {TEX}
* اگر {TEX()} {G } {TEX} ((گروه|گروه جمعی)) باشد و{TEX()} {a} {TEX} مولد {TEX()} {G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {G=<a>=\{na | n \in Z\} } {TEX}
---
!قضیه‌ها
!!1. هر گروه دوری جابجایی است.
__اثبات:__
فرض مکنیم {TEX()} {G } {TEX} گروه دوری و ضربی باشد ، بطوریکه {TEX()} {G=<x> , x \in G} {TEX}. بنابراین هر عضو {TEX()} {G } {TEX} به صورت توانی از {TEX()} {x} {TEX} است . حال فرض مکنیم عناصر دلخواه {TEX()} {a,b \in G} {TEX} را داریم. در نتیجه:
@@{TEX()} {\exists m,n \in Z ; a=x^n , b=x^m} {TEX}@@ |
| | لذا: | | لذا: |
| - | {TEX()} {a.b=x^n.x^m=x^{n+m}=x^{m+n}=x^m.x^n=b.a} {TEX}
پس {TEX()} {G } {TEX} گروه جابجایی است.
تذکر:
عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال گروه چهارتایی کلاین {TEX()} {v_4} {TEX}گروه جابجایی است اما دوری نیست.
قضیه:
هر زیرگروه یک گروه دوری ، دوری است:
اثبات:
فرض میکنیم {TEX()}{G }{TEX} یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند {TEX()}{a \in G}{TEX} وجود دارد که{TEX()} {G=<a>} {TEX} .یعنی هر عنصری از {TEX()}{G }{TEX} به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است.
حال فرض میکنیم {TEX()}{H}{TEX} یک زیرگروه دلخواهی از {TEX()}{G }{TEX} باشد. نشان میدهیم {TEX()}{H}{TEX} دوری است:
اما چون {TEX()}{H \le G}{TEX} بنابراین هر عضو {TEX()}{H}{TEX} نیز به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است. بنا براین یک عدد طبیعی مانند {TEX()}{n}{TEX} وجود دارد که {TEX()}{a^n \in H}{TEX}.
فرض میکنیم {TEX()}{m}{TEX} کوچکترین عدد طبیعی باشد که {TEX()}{a^m \in H}{TEX}. با فرض {TEX()}{a^m=c}{TEX} ثابت میکنیم {TEX()}{H}{TEX} توسط {TEX()}{c}{TEX} تولید میشود:
حال فرض میکنیم {TEX()}{b }{TEX} عنصر دلخواهی از {TEX()}{H }{TEX} باشد. بنابراین میتوان {TEX()}{b=a^n}{TEX} در نظر گرفت که {TEX()}{m \le n }{TEX}. طبق قضیه الگوریتم تقسیم:
{TEX()}{n=mq+r}{TEX} |
+ | @@{TEX()} {a.b=x^n.x^m=x^{n+m}=x^{m+n}=x^m.x^n=b.a} {TEX}@@
پس {TEX()} {G } {TEX} ((گروه جابجایی)) است.
__تذکر:__
عکس قضیه فوق در حالت کلی برقرار نیست.به عنوان مثال ((گروه چهارتایی کلاین)) ، {TEX()} {v_4} {TEX} ، ((گروه جابجایی)) است اما دوری نیست.
!!2. هر ((زیرگروه)) یک گروه دوری ، دوری است.
__اثبات:__
فرض مکنیم {TEX()}{G }{TEX} یک گروه ضربی دوری باشد و عنصری مانند {TEX()}{a \in G}{TEX} وجود دارد که{TEX()} {G=<a>} {TEX} .یعنی هر عنصری از {TEX()}{G }{TEX} به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است.
حال فرض مکنیم {TEX()}{H}{TEX} یک ((زیرگروه)) دلخواهی از {TEX()}{G }{TEX} باشد. نشان مدهیم {TEX()}{H}{TEX} دوری است:
اما چون {TEX()}{H \le G}{TEX} بنابراین هر عضو {TEX()}{H}{TEX} نیز به صورت توانی از {TEX()}{a}{TEX} است. بنا براین یک ((عدد طبیعی)) مانند {TEX()}{n}{TEX} وجود دارد که {TEX()}{a^n \in H}{TEX}.
فرض مکنیم {TEX()}{m}{TEX} کوچکترین ((عدد طبیعی)) باشد که {TEX()}{a^m \in H}{TEX}. با فرض {TEX()}{a^m=c}{TEX} ثابت مکنیم {TEX()}{H}{TEX} توسط {TEX()}{c}{TEX} تولید مشود:
حال فرض مکنیم {TEX()}{b }{TEX} عنصر دلخواهی از {TEX()}{H }{TEX} باشد. بنابراین متوان {TEX()}{b=a^n}{TEX} در نظر گرفت که {TEX()}{m \le n }{TEX}. طبق ((الگوریتم تقسیم)) داریم:
@@{TEX()}{n=mq+r}{TEX}@@ |
| | در نتیجه: | | در نتیجه: |
| - | {TEX()}{a^n=a^{mq+r}=a^{mq}.a^r \Rightarrow a^r=a^n.(a^m)^-q \in H }{TEX}
چون{TEX()}{m}{TEX} کوچکترین عدد طبیعی است که {TEX()}{a^m \in H}{TEX} و{TEX()}{0 \le r <m}{TEX}، بنابراین {TEX()}{r }{TEX} عدد طبیعی نیست. پس برای {TEX()}{r}{TEX} فقط اتنخاب {TEX()}{r=0 }{TEX} ممکن است . پس: |
+ | @@{TEX()}{a^n=a^{mq+r}=a^{mq}.a^r \Rightarrow a^r=a^n.{a^m}^{-q} \in H }{TEX}@@
چون{TEX()}{m}{TEX} کوچکترین ((عدد طبیعی)) است که {TEX()}{a^m \in H}{TEX} و{TEX()}{0 \le r <m}{TEX}، بنابراین {TEX()}{r }{TEX} ((عدد طبیعی)) نیست. پس برای {TEX()}{r}{TEX} فقط اتنخاب {TEX()}{r=0 }{TEX} ممکن است . پس: |
| | {TEX()}{a^n=(a^m)^q=c^q }{TEX} | | {TEX()}{a^n=(a^m)^q=c^q }{TEX} |
| | که به این معنا است که {TEX()}{H}{TEX} دوری است و مولد آن {TEX()}{c}{TEX} است. | | که به این معنا است که {TEX()}{H}{TEX} دوری است و مولد آن {TEX()}{c}{TEX} است. |
| - | |
+ | ---
!همچنین ببینید
*((گروه))
*((جایگشت))
---
پیوندهای خارجی
[http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group]
#@^ |
