گروه جابجایی:
اگر در گروه
قانون جابجایی برقرار باشد،
را یک گروه جابجایی (آبلی یا تعویض پذیر) می نامند.
گروه چهارتایی کلاین:
فرض کنید
و عمل دوتایی * طبق جدول زیر تعریف شود :
c b a e *
c b a e e
b c e a a
a e c b b
e a b c c
یک گروه است. این گروه به گروه چهارتایی کلاین معروف است.
این گروه دارای خواص زیر است:
1 . دارای خاصیت جابجایی است.
2 . معادله
دارای چهار جواب
میباشد.
3 .درایه های قطر اصلی آن
و قطر فرعی آن
هستند.
4 . تمام درایه های این جدول نسبت به قطر اصلی متقارنند.
نکته:
هر گاه در جدولی ، درایه ها نسبت به قطر اصلی تقارن داشته باشند ، گروه مورد نظر ، یک گروه جابجایی است.
گروه
:
گروه اعداد صحیح به پیمانه
را با
نمایش میدهیم و داریم:
و عمل
را میتوان به صورت زیر بیان نمود:
باقیماندۀ
تمرین:
فرض کنید
یک گروه است. ثابت کنید اگر G جابجایی باشد، آنگاه:
حل:
تمرین:
هرگاه در گروه
شرط
برای سه عدد صحیح متوالی برقرار باشد ، ثابت کنید
دارای خاصیت جابجایی است.
حل:
فرض میکنیم :
نشان میدهیم
:
اما میدانیم:
بنابراین:
این رابطه را رابطه * نامگذاری میکنیم.اما:
لذا:
این رابطه را ** معرفی میکنیم.
بنابراین طبق * و** خواهیم داشت: