همنهشتی
تعریف:
اگر m یک عدد طبیعی و a وb دو عدد صحیح باشند، و m بتواند اختلاف بین aوb را بشمارد، آنگاه می گوییم a همنهشت با a است به پیمانه m.
رابطه همنهشتی یک رایطه هم ارزی است پس این رابطه می تواند مجموعه Z را افراز کند. به مثال 2 در این زمینه توجه کنید.
ویژگی های همنهشتی:
- اگر b≡a به پیمانه m آنگاه داریم:
A+c≡b+c و بلعکس
- اگر و باهم همنهشت و و به همنهشت به پیمانه m آنگاه داریم:
ac≡bc به پیمانه m
- اگر b≡a به پیمانه m داشته باشیم آنگاه به ازای n های طبیعی داریم:
و
با هم همنهشتند به پیمانه m
- اگر به ازای تمام aوb های همنهشت به پیمانه m داشته باشیم،آنگاه مجموع و حاصلضرب متناظرشان نیز باهم همتهشتند به پیمانه m.
- اگر b≡a به پیمانه m داشته باشیم و c عدد صحیحی باشد، آنگاه داریم:
ac≡bc به پیمانه m.
قضایای مربوط به همنهشتی:
قضیه 1) اگر ac≡bc به پیمانه m و
آنگاه داریم:
a≡b به پیمانه m/d
لم مربوط به همنهشتی:
لم1) اگر a≡b به پیمانه m باشد و d یکی ازمقسوم علیه های m باشد آنگاه داریم:
a≡b به پیمانه d
لم2) اگر
و
باهم همنهشت به پیمانه m و
آنگاه داریم:
a≡b به پیمانه m
لم 3) اگر r باقیمانده تقسیم a بر m باشد، انگاه، a≡r به پیمانه m.
مثال مربوط به همنهشتی:
مثال1) 36همنهشت با18 به پیمانه 6. یعنی 36-18=18 و 18|6 و به عبارتی دیگر،8 بر 6 بخش پذیر است.
مثال2) مجموعه اعدادی را بیابید که اختلافشان بر عدد 2 بخش پذیر باشد.
جواب:
تمام اعداد صحیح بخش پذیر بر 2 عبارتند از:
A=2q+r 0≤r<2
پس داریم:
A=2q and a=2q+1
به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2، همواره بر 2 بخش پذیر است. یعنی می توان گفت x1≡x2 به پیمانه 2.
و همچنین داریم:
به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2، همواره بر 2 بخش پذیر است. یعنی می توان گفت z1≡z2 به پیمانه 2.
پیوست مربوطه: