تاریخچه ی:
همنهشتی و تئوری اعداد
تفاوت با نگارش: 1
- | ((همنهشتی)) !تعریف: اگر m یک عدد طبیعی و a وb دو عدد صحیح باشند، و m بتواند اختلاف بین aوb را بشمارد، آنگاه می گوییم a همنهشت با a است به پیمانه m. رابطه همنهشتی یک رایطه هم ارزی است پس این رابطه می تواند مجموعه Z را افراز کند. به مثال 2 در این زمینه توجه کنید. !ویژگی های همنهشتی: * اگر b≡a به پیمانه m آنگاه داریم: />A+c≡b+c بکس * اگر {TEX()} {b≡a } {TEX}و {TEX()} {d=(a,b)} {TEX} و {TEX()} {c≡d } {TEX}به پیمانه m آنگاه داریم: />ac≡bc به پیمانه m *اگر b≡a به پیمانه m اشته باشم آنگاه به ازای n های طبیعی داریم: />{TEX()} { a ^ n b ^ n} {TEX} با هم همنهشتند به پیمانه m *اگر به ازای تمام aوb های همنهشت به پیمانه m داشته باشیم،آنگاه مجموع و حاصلضرب متناظرشان نیز باهم همتهشتند به پیمانه m. *اگر b≡a به پیمانه m داشته باشیم و c عدد صحیحی باشد، آنگاه داریم: ac≡bc به پیمانه m. !قضایای مربوط به همنهشتی: قضیه 1) اگر ac≡bc به پیمانه m و{TEX()} {(m,c)=d} {TEX} آنگاه داریم: a≡b به پیمانه m/d |
+ | V{maketoc} ::||اگر m یک ((عدد طبیعی)) و a وb دو ((عدد صحیح)) باشند، و m بتواند اختلاف بین a و b را بشمارد، آنگاه میگوییم __a همنهشت است با b به پیمانه m__.||:: !تعریف __@#14:اگر a و b اعدادی صحیح و m عددی طبیعی باشد گوییم a همنهشت است با b به پیمانه m هرگاه (m|(b-a و مینویسیم (به پیمانه m){TEX()} {a \equiv b} {TEX} یا {TEX()} {a \equiv b \pmod {m}} {TEX} . #@__
*رابطه همنهشتی یک __رایطه همارزی__ است پس این __رابطه__ میتواند ((مجموعه)) اعداد صحیح را افراز کند. به مثال 2 در این زمینه توجه کنید. --- !ویژگیهای همنهشتی * اگر b≡a به پیمانه m آنگاه به ازای عدد صحیح c داریم: a+c ≡ b+c ب یمنه m . * اگر b و a باهم همنهشت و (d=(a,b و c≡d به پیمانه m آنگاه ac≡bc به پیمانه m. *اگر b≡a به پیمانه m ، آنگاه به ازای n های طبیعی {TEX()} {a^n \equiv b ^ n } {TEX}به پیمانه m. *به ازای تمام aوb های همنهشت به پیمانه m مجموع و حاصلضرب متناظرشان نیز باهم همنهشتند به پیمانه m. *اگر b≡a به پیمانه m و c ((عدد صحیح))ی باشد، آنگاه ac≡bc به پیمانه m. --- !قضایای مربوط به همنهشتی #اگر ac≡bc به پیمانه m و m,c)=d) آنگاهa≡b به پیمانه m/d. --- |
| !لم مربوط به همنهشتی: | | !لم مربوط به همنهشتی: |
- | لم1) اگر a≡b به پیمانه m باشد و d یکی ازمقسوم علیه های m باشد آنگاه داریم: a≡b به پیمانه d لم2) اگر {TEX()} {ac≡bc} {TEX} به پیمانه m و{TEX()} {(m,c)=1} {TEX} آنگاه داریم: a≡b به پیمانه m لم 3) اگر r باقیمانده تقسیم a بر m باشد، انگاه، a≡r به پیمانه m. |
+ | # اگر a≡b به پیمانه m باشد و d یکی ازمقسوم علیه های m باشد آنگاه a≡b به پیمانه d. #اگر ac≡bc به پیمانه m و m,c)=1) آنگاه a≡b به پیمانه m. #اگر r باقیمانده تقسیم a بر m باشد، انگاه، a≡r به پیمانه m. --- !مثال # {TEX()} {39 \equiv 25 \pmod{7}} {TEX}. # مجموعه اعدادی را بیابید که اختلافشان بر عدد 2 بخش پذیر باشد. __جواب:__ طبق ((الگوریتم تقسیم)) داریم a=2q+r , 0≤r<2 ؛ یعنی a=2q یا a=2q+1. |
| + | پس ((کلاس همارزی)) 0 یا اعداد بخشپذیر بر 2 عبارت است از {TEX()} {[0]=\{x|\exists q , x=2q\}=\{...,-2,0,2,4,..\}}{TEX} |
| + | به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2، همواره بر 2 بخش پذیر است. |
- | !مثال مربوط به همهشتی: مثال1) 36همنهشت با18 به پیمانه 6. یعنی 36-18=18 و 18|6 و به عبارتی دیر،8 بر 6 بخش ذیر است. />ثال2) مجموعه اعدادی ر بیابید که اختلافشان بر عدد 2 بش پذیر باشد. جواب: تمام اداد صحیح بخش پذیر بر 2 عبارتند از: />A=2q+r 0≤r<2 پس داریم: A=2q and a=2q+1 />{TEX()} {[]={x| 2q}={...,-2,,2,4,..} } {TEX}به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2، همواره بر 2 بخش پذیر است. یعنی می توان گفت x1≡x2 به پیمانه 2. |
+ | و همنین ((اس ماری)) 1عبرت ات از {TEX()} {[1]=\{z|\exists q ,z=2q+1\}=\{...,-3,-1,1,3,..\}} {TEX} |
- | و همچنین داریم: {TEX()} {[1]={z| 2q+1}={...,-3,-1,1,3,..}} {TEX} به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2 همواره بر 2 بخش پذیر است. یعنی می توان گفت z1≡z2 به پیمانه 2.
!یست مبه: |
+ | به طوری که اختلاف این اعداد با عدد 2 نز همواره بر 2 بخش پذیر است. --- !مچنی بیی: |
| *((اعداد اول)) | | *((اعداد اول)) |
| *((تقسیم پذیری)) | | *((تقسیم پذیری)) |
- | *((معادله سیالی)) | |
| *((تئوری اعداد)) | | *((تئوری اعداد)) |
- | |
+ | *((دستگاه کامل ماندهها به پیمانه n)) *((دستگاه مخفف ماندهها به پیمانه n)) |