@#20:__همسانی (Homomorphism)__#@

||V{maketoc}||
---
@#13:در ((جبر مجرد)) یک همسانی (همریختی یا همومورفیسم) یک ((نگاشت)) بین دو ((ساختمان جبری)) (همانند ((گروه))، ((حلقه))، ((میدان))، ((فضای برداری))، ((جبر بول)) و... ) است که حافظ اعمال دو ساختمان باشد. ''همسانی'' یا ''همریختی'' ترجمه واژه یونانی ''همومورفیسم'' (homomorphism) است از دو بخش ''همو'' (homo) به معنی ''یکسان'' است و ''مورفوس'' (morphos) به معنی ''شکل و ریخت'' اشتقاق شده است.
!آشنایی
---
همانطور که می‌دانید ((جبر مجرد)) با ((مجموعه|مجموعه‌ها)) به همراه یک یا چند ((عمل دوتایی)) سروکار دارد و به بررسی ساختار و خواص جالب آنها می‌پردازد. در این صورت طبیعی است که بخواهیم بین دو ساختمان جبری رابطه‌ای برقرار کنیم که بوسیله آن بتوانیم خواص دو ساختمان را با هم مورد مطالعه قرار دهیم. یکی از راهها تعریف یک تابع بین دو ساختمان جبری است. اما در این بین برخی توابع خاص هستند که برای هدف ما مفید واقع خواهند شد و در محور توجه قرار می‌گیرند. بی شک تابعی که از یک مجموعه به همراه یک عمل دوتایی به یک مجموعه به همراه یک عمل دوتایی دیگر تعریف می‌کنیم باید بی‌توجه به اعمال این دو مجموعه نباشد و آنها را حفظ کند. این توابع به را در اصطلاح جبر ''همسانی'' یا ''همریختی'' می‌نامیم که ترجمه واژه همومورفیسم (homomorphism) است. همسانی‌ها به ما کمک می‌کنند که بتوانیم بین ساختارهای جبری ارتباط برقرار کنیم به گونه‌ای که با مطالعه خواص یکی به خواص دیگری پی‌ببریم.

به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی __N__ به همراه عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید، این مجموعه به همراه عمل جمع یک ساختمان جبری است(چرا؟). اگر یک تابع چون f بخواهد یک همسانی از __N__ به توی __N__ باشد یا به عبارت دیگر حافظ عمل جمع در این مجموعه باشد باید دارای این خاصیت باشد که برای هر دو عدد طبیعی a و b داشته باشیم {TEX()} {f(a+b)=f(a)+f(b)} {TEX}. به عنوان تابع {TEX()} {f:N\to N} {TEX} با ضابطه {TEX()} {f(x)=3x} {TEX} دارای چنین خاصیتی است چرا که برای هر دو عدد طبیعی m و n داریم: {TEX()} {f(m+n)=3(m+n)=3m+3n=f(m)+f(n)} {TEX}
پس {TEX()} {f:N\to N} {TEX} یک همسانی است که از یک مجموعه به توی خودش تعریف می‌شود. اما لزوماً یک همسانی بین دو مجموعه یکسان و با اعمال یکسان نمی‌باشد. به عنوان مثال می‌توان یک همسانی از مجموعه اعداد حقیقی به همراه عمل جمع (+,__R__) به مجموعه اعداد حقیقی مثبت با عمل ضزب تعریف نمود. اگر {TEX()} {f:R\to R^+} {TEX} چنین همسانی باشد باید دارای چنین خاصیتی باشد که برای هر دو عد حقیقی x و y داشته باشیم {TEX()} {f(x+y)=f(x).f(y)} {TEX}. به عنوان نمونه ((تابع نمایی)) {TEX()} {f(x)=e^x} {TEX} دارای چنین خاصیتی است چرا که برای هر دو عدد حقیقی x و y داریم: {TEX()} {f(x+y)=e^{x+y}=e^x.e^y=f(x).f(y)} {TEX} پس {TEX()} {f:R\to R^+} {TEX} یک همسانی است. اگر دو یک مجموعه به همراه دو یا چند عمل دوتایی در اختیار باشند در این صورت یک همسانی بین دو مجموعه باید حافظ همه این اعمال باشد.
!همسانی
---
حال به ارائه تعریفی دقیق از همسانی می پردازیم:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} و {TEX()} {(H,\circ)} {TEX} دو ساختمان جبری باشند. در این صورت یک همسانی از G به توی H تابعی است چون {TEX()} {\phi:G\to H} {TEX} (از G به توی H) که برای هر x و y متعلق به G داشته باشیم: {TEX()} {\phi(x*y)=\phi(x) \circ \phi(y)} {TEX}. در تعریفی کلی تر می‌توان مفهوم را به ساختارهایی با بیش از یک عمل دوتایی گسترش داد و یک همسانی از ساختمان جبری G به ساختمان جبری H را تابعی از G به توی H در نظر گرفت که همه اعمال مجموعه اول را در مجموعه دوم حفظ کند. تعریف یک همسانی به نوع ساختمان جبری مورد بحث نیز مرتبط است به این معنا که در ساختمان جبری دارای یک نوع همسانی است. انواع همسانی‌های مورد بحث عبارتند از:
*((همسانی گروه))
*((همسانی حلقه))
*((همسانی مدول))
*((همسانی فضای برداری))
*((همسانی جبری))
!انواع همسانی‌ها
---
خوب می‌دانیم که یک همسانی بین دو ساختمان جبری در درجه اول یک تابع است و توابع می توانند خواص خاص خود را از قبیل یک به یک بودن، پوشا بودن و یا هر دوی این خواص را داشته باشند. برحسب اینکه یک همسانی درای کدام یک از این خواص باشد و یا اینکه از چه مجموعه‌ای به چه مجموعه‌ای تعریف شده است، نام‌های مختلفی برای آن تعریف می‌شود که به آنها اشاره می‌کنیم. فرض کنید G و H دو ساختمان جبری باشند و {TEX()} {\phi:G\to H} {TEX} یک همسانی باشد. در این صورت:
*اگر φ تابعی یک به یک باشد، {TEX()} {\phi:G\to H} {TEX} را یک تکسانی (تکریختی یا مونومورفیسم) (monomorphism) می‌نامیم.
*اگر φ تابعی پوشا باشد، {TEX()} {\phi:G\to H} {TEX} را یک بروسانی (بروریختی یا اپیمورفیسم) (epimorphism) می‌نامیم.
*اگر φ تابعی یک به یک و پوشا باشد و یا به عبارتی تناظر یک به یک باشد، {TEX()} {\phi:G\to H} {TEX} را یک یکسانی (یکریختی یا ایزومورفیسم) (isomorphism) می‌نامیم. در این صورت دو ساختمان جبری G و H را یکسان(یکریخت) یا ایزومورف می‌گوییم و این از آن جهت است که در این حالت دو ساختمان جبری خواص یکسانی را دارند. مثلاً در مورد دو گروه ایزومورف می‌توان دید که اگر یکی آبلی باشد دیگری نیز آبلی است یا اگر یکی از آنها دوری باشد دیگری نیز این خاصیت را دارد و اگر عضوی از مرتبه متناهی n باشد عضو متناظر به همان عضو در گروه دوم نیز دارای مرتبه n است.
*یک همسانی یک به یک و پوشا از یک ساختمان جبری یه توی خودش را یک خودسانی(خود ریختی) یا اتومورفیسم (automorphism)می‌نامیم.
*یک همسانی از یک ساختمان جبری به توی خودش را یک درونسانی(درون ریختی) یا اندومورفیسم(endomorphism) می نامیم.
!هسته یک همسانی
---
فرض کنید G و H دو ساختمان جبری باشند و {TEX()} {\phi:G\to H} {TEX} یک همسانی باشد. حال رابطه ~ را روی مجموعه G به صورت برای هر a و b متعلق به G :
::{TEX()} {a\, \approx \, b \, \mbox{iff}\, \phi(a)=\phi(b)} {TEX}::
تعریف می کنیم.
*برای هر {TEX()} {a\in G} {TEX} وضوحاً داریم {TEX()} {\phi(a)=\phi(a)} {TEX} پس a~a و لذا رابط ~ روی G منعکس است.
*برای هر {TEX()} {a,b\in G} {TEX} اگر a~b داریم {TEX()} {\phi(a)=\phi(b)} {TEX} پس {TEX()} {\phi(b)=\phi(a)} {TEX} ولذا b~a پس رابطه ~ روی G متقارن است.
*برای هر {TEX()} {a,b,c\in G} {TEX} اگر a~b و b~c آنگاه داریم {TEX()} {\phi(a)=\phi(b)} {TEX} و {TEX()} {\phi(b)=\phi(c)} {TEX} پس {TEX()} {\phi(a)=\phi(c)} {TEX} ولذا a~c پس رابطه ~ روی G متعدی است.
بنابراین رابطه ~ یک رابطه هم ارزی روی G است. این رابطه را هسته یا کرنل (kernel) همسانی {TEX()} {\phi} {TEX} می‌گوییم. برای هر عضو G چون a کلاس هم‌ارزی a عبارت است از:
::{TEX()} {[a]=\{g\in G:\, f(g)=f(a)\}} {TEX}::
مجموعه همه این کلاسهای هم‌ارزی را با ~/G نشان می‌دهیم.
به عنوان مثال اگر G و H دو گروه باشند کلاس e عضو خنثی گروه G عبارت است از: {TEX()} {[e]=\{g\in G:\, f(a)=f(e)\}} {TEX} اما چون f یک همسانی گروه است می دانیم {TEX()} {f(e)=e_H} {TEX} پس داریم:
::{TEX()} {[e]=\{g\in G:\, f(g)=e_H\}} {TEX}::
اگر با نظریه گروه‌ها آشنا باشید می‌دانید که مجموعه فوق به عنوان هسته یا کرنل یک هسانی گروه تعریف می‌شود. یعنی مجموعه همه عناصری از گروه اول که تصویرشان تحث همسانی برایر عضو خنثی گروه طرف دوم این یا همان کلاس هم‌ارزی e. این بدان دلیل است که در این ساختارها با دانستن یک کلاس خاص می توان به مجموعه ~/G دسترسی یافت و لذا یک کلاس هم‌ارزی خاص بیش از خود رابطه مورد توجه است.
!همچنین ببینید
---
*((جبر مجرد))
*((گروه))
*((حلقه))
*((همسانی گروه))
*((همسانی حلقه))
*((تکسانی))
*((بروسانی))
*((یکسانی))
*((خودسانی))
*((درون سانی))#@