همومورفیسم:
فرض کنید {TEX()} {(G,\circ)} {TEX} و {TEX()} {(H,*)} {TEX} دو گروه باشند و {TEX()} {f : G \rightarrow H} {TEX} یک تابع باشد . {TEX()} {f} {TEX} را یک همومورفیسم می نامیم ، اگر :
{TEX()} {\forall a,b \in G : f(a \circ b)=f(a)*f(b)} {TEX}
هستۀ {TEX()} {f} {TEX} :
مجموعه {TEX()} {{x \in G | f(x)=e_{G^\prime}=1_{g^\prime }} {TEX} را که با {TEX()} {ker f} {TEX} نمایش می دهیم ، هسته {TEX()} {f} {TEX} می نامیم.
قضیه :
فرض کنید {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX}یک همومورفیسم است. آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
1 . اگر {TEX()} {H \le G} {TEX} ، آنگاه مجموعه {TEX()} {f(H)={f(h) | h \in H}} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G^\prime} {TEX} است.
2 . اگر {TEX()} {K \le G^\prime} {TEX} ، آنگاه مجموعه {TEX()} {f^{-1}(K)={x \in G |f(x) \in K}} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است.
3 . اگر {TEX()} {K \triangleleft G^\prime } {TEX}، آنگاه {TEX()} {f^{-1}(K) \triangleleft G } {TEX}
4 . {TEX()} {{1_{G^\prime}}} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G^\prime} {TEX} و {TEX()} {ker f} {TEX} زیرگروه نرمال {TEX()} {G} {TEX} است.
5 . اگر {TEX()} {f} {TEX} پوشا و {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX} باشد ، آنگاه {TEX()} {f(H) \triangleleft G^\prime } {TEX}
اثبات:
1 . میدانیم {TEX()}{\varnothing \neq f(G) \subseteq G^\prime}{TEX}.زیرا {TEX()}{f (e) \in f (G) }{TEX} لذا برای هر {TEX()} {f(x) , f (y) } {TEX} ثابت میکنیم {TEX()}{f (x) \cdot (f (y))^{-1} \in f (G)}{TEX}:
اما :
{TEX()}{f(x) \cdot (f (y))^{-1}= f (x) \cdot f (y^{-1})= f (x \cdot y^{-1}) \in f(G) }{TEX}
بنابراین :
{TEX()}{f (G) \le G^\prime }{TEX}
2 . می دانیم {TEX()} {f(1_G) \in K } {TEX} . زیرا {TEX()} {K \le G^\prime} {TEX} و {TEX()} {f(1_G)=1_{G^\prime) \in K} {TEX} بنابراین {TEX()} {1_G \in f^{-1}(K)} {TEX} و در نتیجه {TEX()} {f^{-1}(K) \neq \varnothing} {TEX}
اما بدیهی است {TEX()} {f^{-1}(K) \subseteq G} {TEX}
حال فرض می کنیم {TEX()} {x,y \in f^{-1}(K)} {TEX} دلخواه باشند ، در این صورت {TEX()} {f(x) , f(y) \in K} {TEX} ، آنگاه :
{TEX()} {f(x)(f(y))^{-1}=f(x)f(y^{-1})=f(xy^{-1}) \in K} {TEX}
بنابراین {TEX()} {xy^{-1} \in f^{-1}(K)} {TEX} و در نتیجه {TEX()} {f^{-1}(K) \le G} {TEX}
3 . فرض می کنیم {TEX()} {g \in G , h \in f^{-1}(K)} {TEX} عناصر دلخواه باشند . ثابت می کنیم :
{TEX()} {ghg^{-1} \in f{-1}(K)} {TEX}
که در این صورت {TEX()} {f^{-1}(K) \triangleleft G } {TEX} خواهد شد.
چون {TEX()} {h \in f^{-1}(K)} {TEX} لذا {TEX()} {f(h) \in K} {TEX} که {TEX()} {f : G \rightarrow G^\prime} {TEX} یک همومورفیسم است .
از اینکه {TEX()} {g \in G} {TEX} ، عنصر دلخواه است ، نتیجه میشود {TEX()} {f(g) \in G^\prime} {TEX} است. چون {TEX()} {K \triangleleft G^\prime } {TEX} لذا طبق تعریف :
{TEX()} {f(g)f(h)(f(g))^{-1} \in K \Rightarrow f(ghg^{-1}) \in K \Rightarrow ghg^{-1} \in f^{-1}(K)} {TEX}
4 . طبق 2 و3 بدیهی است .
5 . برای هر {TEX()} {g^\prime \in G^\prime , f(h) \in f(H)} {TEX} کافیست نشان دهیم :
{TEX()} {g^\prime f(h) (g^\prime)^{-1} \in f(H)} {TEX}
که در این صورت {TEX()} { f(H) \triangleleft G } {TEX} خواهد شد.
اما چون {TEX()} {f} {TEX} پوشا است ، بنابراین برای {TEX()} {g^\prime \in G^\prime } {TEX} ، عنصری مانند {TEX()} {g \in G} {TEX} وجود دارد که {TEX()} {f(g)=g^\prime} {TEX} . با توجه به اینکه {TEX()} {H \triangleleft G } {TEX} ، در نتیجه {TEX()} {ghg^{-1} \in H} {TEX} خواهد شد . پس {TEX()} {f(ghg^{-1}) \in f(H)} {TEX}. یعنی :
{TEX()} {f(g) f(h) f(g^{-1}) \in f(H) \ Rightarrow g^\prime f(h) (g^\prime)^{-1} \in f(H) \Rightarrow f(H) \triangleleft G^\prime } {TEX}
قضیه :
فرض کنید {TEX()} {f : G \rightarrow H} {TEX} یک همو مورفیسم است . آنگاه {TEX()} {f} {TEX} یک به یک است ، اگر و فقط اگر {TEX()} {ker f={e}} {TEX} که {TEX()} {e} {TEX} عضو خنثی {TEX()} { G} {TEX} است .
اثبات:
ابتدا فرض می کنیم {TEX()} {f} {TEX} یک همومورفیسم یک به یک ( مونومورفیسم) است و {TEX()} {x \in ker f} {TEX} عنصر دلخواه و {TEX()} {e^\prime} {TEX} عنصر خنثی {TEX()} {H} {TEX} باشد .لذا :
{TEX()} {f(x)=e^\prime=f(e)} {TEX}
اما {TEX()} {f} {TEX} یک به یک است ، لذا :
{TEX()} {x=e} {TEX}
حال فرض می کنیم {TEX()} {ker f ={e}} {TEX} وبرای {TEX()} {x,y \in G} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {f(x)=f(y)} {TEX}. آنگاه :
{TEX()} {f(x)f(y^{-1})=e^\prime \Rightarrow f(xy^{-1})=e^\prime xy^{-1} \in ker f \Rightarrow xy^{-1}=e \Rightarrow x=y} {TEX}
یعنی {TEX()} {f} {TEX} یک به یک است.
قضیه اساسی هموموفیسم :
فرض کنید {TEX()} {H,G} {TEX} دو گروه ضربی و {TEX()} {f:G \rightarrow H} {TEX} یک همومورفیسم باشد ، آنگاه {TEX()} {ker f \le G} {TEX} وهمچنین {TEX()} {G/{ker f}\cong Im(f)=f(G) } {TEX}.
اثبات :
ابتدا {TEX()} {ker f=K} {TEX} را در نظر می گیریم.
فرض میکنیم {TEX()} {\varphi : G/K \rightarrow H} {TEX} با ضابطۀ زیر مفروض باشد . ثابت می کنیم {TEX()} {\varphi} {TEX} ، ایزومورفیسم است :
{TEX()} {\forall gK \in G/K : \varphi (gK)=f(g)} {TEX}
اما {TEX()} {\varphi} {TEX} خوشتعریف است . چرا که :
{TEX()} {\forall aK,bK \in G/K : aK=bK \Rightarrow ab^{-1} \in K} {TEX}
بنابراین با توجه به همومورفیسم بودن {TEX()} {f} {TEX} داریم :
{TEX()} {e_h=f(ab^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(a)(f(b))^{-1} \Rightarrow f(a)=f(b) \Rightarrow \varphi (aK)= \varphi (bK)} {TEX}
اما {TEX()} {\varphi} {TEX} همومورفیسم نیز می باشد . زیرا :
{TEX()} {\forall aK \in G/K : \varphi (aK \cdot bK)= \varphi (abK)=f(ab)=f(a)f(b)= \varphi (aK) \cdot \varphi(bK)} {TEX}
اکنون به بررسی خاصیت یک به یک بودن {TEX()} {\varphi} {TEX} می پردازیم:
{TEX()} {\forall aK,bK \in G/K : \varphi (aK)= \varphi (bK) \Rightarrow f(a)=f(b) \Rightarrow f(ab^{-1})=e_H \Rightarrow ab^{-1} \in K \Rightarrow aK=bK} {TEX}
حال نشان میدهیم {TEX()} {\varphi} {TEX} پوشا نیز می باشد:
{TEX()} {\forall f(x) \in Im(f) \exists xK \in G/K ; \varphi (xK)=f(x)} {TEX}
با توجه به مطالب بالا ، {TEX()} {\varphi} {TEX} یک ایزومورفیسم است و {TEX()} {G/(ker f) \cong Im(f)} {TEX}.