: نظریه چند جمله ای ها

||V{maketoc}||

^@#16:

!نظریه چند جمله ای ها

!!مثال

ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} را در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} بیابید.

در قمست قبلی، قضیه دوجمله ای نیوتن را ثابت کردیم. حال در این بخش سعی می کنیم این قضیه را تعمیم دهیم تا بتوانیم ضرایب را در بسط حاصل ضرب {TEX()} {(x_1+x_2+\cdots +x_m)^n} {TEX} به دست آوریم.

__حل__

در بسط عبارت

@@{TEX()} {(x+y+z)^6=(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)} {TEX}@@

به ازای هر راه انتخاب {TEX()} {x} {TEX}، {TEX()} {y} {TEX}یا {TEX()} {z} {TEX}از هر عامل یک کلمه ی 6 حرفی به این شکل می سازیم که اگر از عامل {TEX()} {i} {TEX}ام {TEX()} {(1\le i \le 6)} {TEX} {TEX()} {x} {TEX}انتخاب شده باشد، حرف {TEX()} {i} {TEX}ام این کلمه را {TEX()} {x} {TEX}و اگر {TEX()} {y} {TEX}انتخاب شده باشد، {TEX()} {y} {TEX}و اگر {TEX()} {z} {TEX}انتخاب شده باشد، {TEX()} {z} {TEX}می گذاریم. به عنوان مثال اگر ما از عامل های اول، دوم، سوم، چهارم، پنجم و ششم به ترتیب {TEX()} {x.z.x.z.y.x} {TEX} را انتخاب کنیم معادل کلمه ی{TEX()} { xyzxzx } {TEX} است. هم چنین کلمه ی{TEX()} { xxyxzz } {TEX} ، متناظر با حالتی است که از عامل های اول، دوم، سوم، چهارم، پنجم و ششم به ترتیب{TEX()} {z,z,x,y,x,x} {TEX} را انتخاب کنیم.

واضح است که این یک تناظر یک به یک بین ضریب{TEX()} {x^3yz^2} {TEX} در عبارت{TEX()} {(x+y+z)^6} {TEX} و تعداد دنباله های به طول 6 با 3 عدد {TEX()} {x} {TEX}، 2 عدد {TEX()} {z} {TEX}و یک عدد {TEX()} {y} {TEX}می باشد که برابر است با @@{TEX()} {{6\choose {3,2,1}}=\frac{6!}{3!1!2!}=60} {TEX}.@@

---

!!مثال

__الف.__ضریب{TEX()} {a^5b^3c^7d^2e^5} {TEX} را در عبارت{TEX()} {G(a+b+c+d+e)^22 {TEX} بیابید.

__ب.__ضریب{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} را در عبارت{TEX()} {\big(2x-y+5\sqrt{z}+\frac{1}{7w^2} \big)^{12}} {TEX} بیابید.

__حل__

__الف.__طبق قضیه ی چند جمله ای ضریب{TEX()} {a^5b^3c^7d^2e^5} {TEX} در عبارت{TEX()} {(a+b+c+d+e)^{22}} {TEX} برابر است با {TEX()} {{{22}\choose {5,3,7,2,5}}=\frac{22!}{5!3!7!2!5!}} {TEX}.

__ب.__فرض کنید {TEX()} { A = 2x } {TEX} ،{TEX()} { B = -y } {TEX} ،{TEX()} {C=5\sqrt{z}} {TEX} و{TEX()} {D=\frac{1}{7w^2}} {TEX}. تنها جمله ای که در عبارت{TEX()} {(A+B+C+D)^12} {TEX} شامل جمله ی{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} می باشد، جمله ی{TEX()} {A^3BC^5D^3} {TEX} می باشد. چون طبق قضیه ی چند جمله ای ضریب {TEX()} {A^3BC^5D^3} {TEX} در عبارت{TEX()} {(A+B+C+D)^{12}} {TEX} برابر{TEX()} {{{12}\choose {3,1,5,3}}=\frac{12!}{3!1!5!3!}} {TEX} است، پس ضریب{TEX()} {\frac{x^3yz^{\frac{5}{2}}}{w^6}} {TEX} در عبارت{TEX()} {\big(2x-y+5\sqrt{z}-\frac{1}{7w^2} \big)} {TEX} برابر است با{TEX()} {-\frac{2^3 \times 5^5}{7^3} {{12}\choose {3,1,5,3}}} {TEX}

---

!!مثال

__الف.__بسط عبارت{TEX()} {(x+y)^6} {TEX} چند جمله دارد؟

__حل__

__الف.__هر جمله ی عبارت{TEX()} {(x+y)^6} {TEX} به صورت{TEX()} {x^ky^{6-k}} {TEX} است و چون{TEX()} {0\le k \le 6} {TEX}، پس این عبارت 7 جمله دارد.

__ب.__می دانیم هر جمله از بسط عبارت{TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX}، به صورت{TEX()} {a^{n_1}b^{n_2}c^{n_3}d^{n_4}} {TEX} می باشد که در آن {TEX()} {(1 \le i \le 4) \ n_i \ge 0} {TEX} و{TEX()} {n_1+n_2+n_3+n_4=9} {TEX}. بنابراین یک تناظر یک به یک بین جملات بسط {TEX()} {(a+b+c+d)^9} {TEX} و جواب های صحیح نامنفی معادله‌ی{TEX()} {(n_1+n_2+n_3+n_4=9} {TEX} برقرار است. در نتیجه تعداد جملات این عبارت برابر است با{TEX()} {{12}\choose 3} {TEX}.

---

! پیوند های خارجی

[http://Olympiad.roshd.ir/computer/content/pdf/0055.pdf]

#@^

تفاوت با نگارش: 1

سرویس‌های رشد:

فهرست: