V{maketoc}
در محاسبات علمی، به ندرت ((انتگرال معین)) از روش های یافتن ((تابع)) اولیه محاسبه می شود هر چند که این روش ها ممکن است برای یافتن فرمول های مناسب مفید واقع شوند. دو دلیل ساده برای این امر وجود دارد، یکی اینکه بسیاری از تابع های اولیه را نمی توان به حسب تابع های شناخته شده بیان کرد و دوم اینکه حتی در صورت دست یافتن به یک عبارت شناخته شده این عبارت خود بدون تقویت قابل استفاده نیست. خوشبختانه روش های بسیار موثر و عملی برای محاسبه تقریبی انتگرال معین وجود دارد که به دقت مورد نیاز قابل بهره گیری هستند و نرم افزارهای متعددی نیز به این منظور فراهم شده است. روش های تقریب بر دورکن اصلی تکیه دارند:

__1.افزار بازه ((روشهای انتگرال گیری|انتگرال گیری)) به زیر بازه های کوچکتر__
__2.جایگزینی تابع هر بازه کوچکتر با یک تابع که ((انتگرال)) آن به سادگی قابل محاسبه است مانند یک تابع ثابت یا یک چند جمله ای.__

روشن است که این ایده رابطه نزدیکی با خود تعریف انتگرال معین دارد.
در ((آنالیز عددی)) روش سیمپسون،یکی از روشهای تقریب مقدار انتگرال است.

!پایه
ما در __روش سیمپسون__ می خواهیم تقریب را با استفاده از چند جمله ای درجه دوم بدست آرویم در این روش نقطه وسط بازه است. ما می توانیم با استفاده از ((درون یابی لاگرانژ|تقریب چند جمله ای لاگرانژ)) این تقریب را بدست آوریم:


{TEX()} {P(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+
f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+
f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}} {TEX}

روش سیمپسون برای محاسبه انتگرال از روش ساده زیر استفاده می کند:

{TEX()} {\int_{a}^{b} f(x) dx\approx \int_{a}^{b} P(x) dx =\frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]} {TEX}

مقدار خطا در این روش برابر {TEX()} {-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),} {TEX} خواهد بود. که در آن{TEX()} {h=(b-a)/2} {TEX} مقداری بین a ، b است.


!روش
دیدیم که روش سیمپسون یک تقریب کافی از انتگرال را در صورتی که بازه انتگرال گیری کوچک به ما می دهد. اما در اغلب اوقات بازه انتگرال گیری کوچک نیست در این حالت مجبوریم بازه را به زیر بازه های کوچکتری تقسیم کنیم در این حالت ما روش سیمپسون را در زیر بازه ها به کار برده و نتایج را با هم جمع می کنیم. این روش را __روش سیمپسون مرکب__ می گویند.

{TEX()} {\int_a^b f(x) dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+
4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)
\bigg],} {TEX}

وقتی که n تعداد زیربازه های
{TEX()} {[a, b]} {TEX} باشد و طول هر یک از زیر بازه ها{TEX()} {h=(b-a)/n} {TEX} باشد و داشته باشیم:
{TEX()} {x_i=a+ih} {TEX} که در آن {TEX()} {i=0, 1, ..., n-1, n} {TEX} می باشد. و همچنین {TEX()} {x_0=a} {TEX} و {TEX()} {x_n=b} {TEX}
حال می توانیم بنویسیم:

^{TEX()} {\int_a^b f(x) dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+...+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg]} {TEX}^

در این حالت بیشترین مقدار خطا برابر خواهد بود با:

{TEX()} {-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi),} {TEX}

!همچنین ببینید:
((آنالیز عددی))
((درون یابی))

!پیوند خارجی

[http://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_rule
|www.wikipedia.com]