منو
 کاربر Online
1038 کاربر online
تاریخچه ی: قضیه اساسی حساب

تفاوت با نگارش: 1

Lines: 1-36Lines: 1-40
 +V{maketoc}
 +^@#16:
 !قضیه !قضیه
-هر عدد صحیح n>1 را می‌توان (صرفنظر از ترتیب عوامل) فقط به یک طریق بصورت حاصل‌ ضربی از عوامل اول نمایش داد. برای اثبات صحت ادعای فوق از ((استقرای ریاضی|استقرا)) روی n استفاده می‌کنیم. قضیه برای n=2 درست است. پس فرض کنیم برای هر عدد صحیح بزرگتر از 1 و کوچکتر از n درست باشد. ثابت می کنیم قضیه برای n نیز درست است اگر n اول باشد، چیزی برای اثبات وجود ندارد. پس فرض کنیم n مرکب بوده و n دو تجزیه ، مثلا (*) {TEX()} {n=p_1 p_2... p_5=q_1 q_2...q_t} {TEX} داشته باشد، می‌خواهیم نشان دهیم S=t و هر p مساوی qای است.

چون {TEX()} {p_1} {TEX} حاصل‌ضرب {TEX()} {q_1 q_2 ...q_t} {TEX} را عاد می‌کند. باید دست کم یکی از عامل‌ها را عاد کند. {TEX()} {q_1 q_2 ...q_t} {TEX} را طوری اندیس‌گذاری می‌کنیم که {TEX()} {p_1|q_1} {TEX}. در اینصورت {TEX()} {p_1=q_1} {TEX} ، زیرا {TEX()} ‌{p_1} {TEX} و {TEX()} ‌{q_1} {TEX} هر دو اولند. در عبارت (*) می‌توان با حذف {TEX()} ‌{p_1} {TEX} از طرفین بدست آورد. {TEX()} {\frac{n}{p_1}=p_2... p_5=q_2...q_t} {TEX}
هرگاه S>1 یا t>1 ، آنگاه {TEX()} {1< \frac{n}{p_1}((قضیه اساسی حساب)) به پایان می‌رسد.
+هر عدد صحیح n>1 را می‌توان (صرفنظر از ترتیب عوامل) فقط به یک طریق بصورت حاصل‌ ضربی از عوامل اول نمایش داد. برای اثبات صحت ادعای فوق از ((استقرای ریاضی|استقرا)) روی n استفاده می‌کنیم. قضیه برای n=2 درست است. پس فرض کنیم برای هر عدد صحیح بزرگتر از 1 و کوچکتر از n درست باشد. ثابت می کنیم قضیه برای n نیز درست است اگر n اول باشد، چیزی برای اثبات وجود ندارد. پس فرض کنیم n مرکب بوده و n دو تجزیه ، مثلا (*) {TEX()} {n=p_1 p_2... p_5=q_1 q_2...q_t} {TEX} داشته باشد، می‌خواهیم نشان دهیم S=t و هر p مساوی qای است.

چون {TEX()} {p_1} {TEX} حاصل‌ضرب {TEX()} {q_1q_2...q_t} {TEX} را عاد می‌کند. باید دست کم یکی از عامل‌ها را عاد کند. {TEX()} {q_1 q_2...q_t} {TEX} را طوری اندیس‌گذاری می‌کنیم که {TEX()} {p_1|q_1} {TEX}. در اینصورت {TEX()} {p_{1}=q_{1}} {TEX} ، زیرا {TEX()} ‌{p_{1},q_{1}} {TEX} هر دو اولند. در عبارت (*) می‌توان با حذف {TEX()} ‌{p_{1}} {TEX} از طرفین بدست آورد. {TEX()} {\frac{n}{p_{1}}=p_{2}... p_{5}=q_{2}...q_{t}} {TEX}
هرگاه S>1 یا t>1 ، آنگاه {TEX()} {1<\frac{n}{p_{1}}{1}}} {TEX} ، صرفنظر از ترتیب عوامل ، باید یکی باشند. بنابراین ، S=t و تجزیه‌های (*) نیز صرفنظر از ترتیب ، یکی می‌باشند و بدین ترتیب اثبات قضیه اساسی حساب به پایان می‌رسد.
 !!تذکر !!تذکر
-در تجزیه عدد صحیح n ، عدد اول خاصی p ممکن است بیش از یک بار بیاید هرگاه عوامل اول متمایز n ، {TEX()} {p_1 ,...,p_r} {TEX} بوده و {TEX()} {p_i} {TEX} به عنوان یک عامل ، {TEX()} {a_i} {TEX} بار بیاید. می‌توانی بنویسیم:


{TEX()} {n=p_1 ^a_1 ... p_r ^a_r} {TEX} یا مختصرتر {TEX()} {n=\prod_{i=1}^r p_i ^a_i} {TEX}. این تجزیه n به ((عوامل اول)) می‌نامند. همچنین ، می‌توان 1 را با اختصار هر نمای {TEX()} {a_i} {TEX} مساوی 0 به اینصورت بیان کرد:
+در تجزیه عدد صحیح n ، عدد اول خاصی p ممکن است بیش از یک بار بیاید هرگاه عوامل اول متمایز n ، {TEX()} {p_{1},...,p_{r}} {TEX} بوده و {TEX()} {p_i} {TEX} به عنوان یک عامل ، {TEX()} {a_i} {TEX} بار بیاید. می‌توانی بنویسیم:


{TEX()} {n=p_1^a_1 ... p_r^a_r} {TEX} یا مختصرتر {TEX()} {n=\prod_{i=1}^r p_i^a_i} {TEX}. این تجزیه n به ((عوامل اول)) می‌نامند. همچنین ، می‌توان 1 را با اختصار هر نمای {TEX()} {a_i} {TEX} مساوی 0 به اینصورت بیان کرد:
 !!قضیه !!قضیه
-هرگاه {TEX()} {n=\prod_{i=1}^r p_i ^a_i} {TEX} ، که در آن به ازای i=1,2,...,r ، {TEX()} {0 \le c_i \le a_i} {TEX}


*هرگاه دو عدد صحیح و مثبت b,a دارای تجزیه‌های {TEX()} {b=\prod_{i=1}^\infty p_i ^b_i} {TEX} {TEX()} {a=\prod_{i=1}^\infty p_i ^a_i} {TEX}
باشند، آنگاه بمعم آنها تجزیه{TEX()} {(a,b)=\prod_{i=1}^\infty p_i ^c_i} {TEX} را دارد که در آن هر {TEX()} {c_i} {TEX} مساوی {TEX()} {min { a_i,b_i }} {TEX} ، یعنی کوچکترین {TEX()} {b_i , a_i} {TEX} است.
+هرگاه {TEX()} {n=\prod_{i=1}^r p_i^a_i} {TEX} ، که در آن به ازای i=1,2,...,r ، {TEX()} {0\le c_i\le a_i} {TEX}
*هرگاه دو عدد صحیح و مثبت b,a دارای تجزیه‌های {TEX()} {b=\prod_{i=1}^\infty p_i^b_i} {TEX} {TEX()} و {a=\prod_{i=1}^\infty p_i^a_i} {TEX}
باشند، آنگاه بمعم آنها تجزیه {TEX()} {(a,b)=\prod_{i=1}^\infty p_i^c_i} {TEX} را دارد که در آن هر {TEX()} {c_i} {TEX} مساوی {TEX()} {min {a_i,b_i}} {TEX} ، یعنی کوچکترین {TEX()} {b_i,a_i} {TEX} است.
 !الگوریتم اقلیدس !الگوریتم اقلیدس
 طبق نکته فوق اگر تجزیه به عوامل اول b,a معلوم باشند. یک روش عملی برای محاسبه {TEX()} {(a,b)} {TEX} بمعم بدست می‌دهد. اما ممکن است در تجزیه به عوامل اول محاسبات زیادی لازم باشد. فرآیند مفیدی وجود دارد بنام ((الگوریتم اقلیدس)) ، که محتاج به تجزیه b,a نیست. این فرآیند بر تقسیمات متوالی استوار است و در آن از مطلب زیر استفاده می‌شود: طبق نکته فوق اگر تجزیه به عوامل اول b,a معلوم باشند. یک روش عملی برای محاسبه {TEX()} {(a,b)} {TEX} بمعم بدست می‌دهد. اما ممکن است در تجزیه به عوامل اول محاسبات زیادی لازم باشد. فرآیند مفیدی وجود دارد بنام ((الگوریتم اقلیدس)) ، که محتاج به تجزیه b,a نیست. این فرآیند بر تقسیمات متوالی استوار است و در آن از مطلب زیر استفاده می‌شود:
 !!الگوریتم تقسیم !!الگوریتم تقسیم
-به ازای اعداد صحیح b,a که b>0 جفت منحصر به فردی از اعداد صحیح مانند r,q وجود دارد که بطوری که a=bq+r که در آن {TEX()} {0 \le r \le b} {TEX} بعلاوه r=0 اگر و فقط اگر b|a. +به ازای اعداد صحیح b,a که b>0 جفت منحصر به فردی از اعداد صحیح مانند r,q وجود دارد که بطوری که a=bq+r که در آن {TEX()} {0\le r\le b} {TEX} بعلاوه r=0 اگر و فقط اگر b|a.
 !!تذکر !!تذکر
 می‌گوئیم q خارح قسمت و r باقی‌مانده در تقسیم a به b می‌باشند. می‌گوئیم q خارح قسمت و r باقی‌مانده در تقسیم a به b می‌باشند.
 !!الگوریتم اقلیدسی !!الگوریتم اقلیدسی
-فرض کنیم اعداد صحیح و مثبت b,a داده شده باشند که b عاد نمی‌کند a را. همچنین {TEX()} {r_1=b} {TEX} {TEX()} {r_0=a} {TEX} ، و الگوریتم تقسیم را متوالیا بکار بریم تا مجموعه باقمانده‌های {TEX()} {r_2,r_3,...,r_n,r_n+1} {TEX} بدست آید که بترتیب با روابط زیر تعریف می‌شوند:

+فرض کنیم اعداد صحیح و مثبت {TEX()} {b,a} {TEX} داده شده باشند که {TEX()} {b} {TEX} عاد نمی‌کند {TEX()} {a} {TEX} را. همچنین {TEX()} {r_{1}=b} {TEX} {TEX()} {r_{0}=a} {TEX} ، و الگوریتم تقسیم را متوالیا بکار بریم تا مجموعه باقیمانده‌های {TEX()} {r_2,r_3,...,r_n,r_{n+1}} {TEX} بدست آید که بترتیب با روابط زیر تعریف می‌شوند:
-::{TEX()} {r_0 = r_1 q_1 + r_2 0::
::{TEX()} {r_1 = r_2 q_2 + r_3 0::
::...::
::...::
::...::
::{TEX()} {r_n-2 = r_n-1 q_n-1 + r_n 0::
::{TEX()} {r_n - 1 = r_n q_n + r_n+1 r_n + 1=0} {TEX}::
+{TEX()} {r_0 = r_1 q_1 + r_2 , 0{TEX()} {r_1 = r_2 q_2 + r_3 , 0...
...
...
{TEX()} {r_{n-2} = r_{n-1} q_{n-1} + r_n , 0{n-1}} {TEX}
{TEX()} {r_{n - 1} = r_n q_n + r_{n+1} , r_{n + 1}=0} {TEX}
-در اینصورت ، آخرین باقی‌مانده ناصفر در این فرآیند {TEX()} {( a,b )} {TEX} است یعنی b,a. +در اینصورت ، آخرین باقی‌مانده ناصفر در این فرآیند {TEX()} {(a,b)} {TEX} است یعنی {TEX()} {b,a} {TEX}.
 !مباحث مرتبط با عنوان !مباحث مرتبط با عنوان
 *((اعداد اول)) *((اعداد اول))
 *((استقرای ریاضی)) *((استقرای ریاضی))
 *((الگوریتم اقلیدس)) *((الگوریتم اقلیدس))
 *((الگوریتم تقسیم)) *((الگوریتم تقسیم))
 *((قضایای نظریه اعداد)) *((قضایای نظریه اعداد))
 *((نظریه اعداد)) *((نظریه اعداد))
-*((نظریه همنهشتی)) +*((نظریه همنهشتی))#@^

مطلب از: آیدا سلیم نژاد

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 شنبه 23 دی 1385 [13:57 ]   4   حسین خادم      جاری 
 شنبه 23 دی 1385 [13:57 ]   3   حسین خادم      v  c  d  s 
 شنبه 23 دی 1385 [13:22 ]   2   حسین خادم      v  c  d  s 
 یکشنبه 17 دی 1385 [12:03 ]   1   حسین خادم      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..