• مثال
• بسته بودن:
• شرکت پذیری:
• خاصیت جابجایی:
• عضو خنثی:
• عضو وارون:

اگر یک مجموعه ناتهی باشد , یک عمل دوتایی روی مجموعه تابعی مانند است ، بطوریکه: لازم به ذکر است که:

به اختصار عمل دوتایی * را که روی اثر کند، را با نمایش می‌دهیم.یعنی به جای نوشتن می‌نویسیم .اگر عمل دوتایی ، جمعی باشد ، از استفاده می‌کنیم.

1 .هر عمل دوتایی به هر عضو عنصر یکتایی از را نسبت می دهد.
2 .حاصل ترکیب دو عضو تحت یک عمل دوتایی باید متعلق به باشد
3 .عمل دوتایی را که سبب ترکیب هر دو عضو مجموعه ناتهی میشود، معمولا با * یا نمایش میدهیم.

---

مثال

• مجموعه را در نظر بگیرید ، را به صورت زیر تعریف میکنیم:

به آسانی دیده میشود * یک عمل دوتایی است

• مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید. * با ضابطه زیر ، یک عمل دوتایی است:

اما عمل فوق در و عمل دو تایی نمی باشد.(چرا؟)
ولی در عمل * فوق ، یک عمل دوتایی است.

• عمل * را در به صورت زیر تعریف میکنیم:

عمل * در یک عمل دوتایی نیست . چرا که به ازای جواب بینهایت میشود که متعلق به نیست.همچنین است درباره .

---

بسته بودن:

اگر یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی باشد و . در صورتیکه به ازای هر شرط برقرار باشد گوییم تحت عمل * بسته است.( بدیهی است که اگر عناصر دلخواهی از باشند ، لزومی ندارد که باشد.)
مثال:
1 .مجموعه های تحت عمل جمع بسته میباشند.
2 . مجموعه های تحت عمل تقسیم بسته نیستند.
نکته:
اگر * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی باشد ، مینویسیم و می خوانیم تحت عمل دوتایی *.

---

شرکت پذیری:

شرکت پذیر است هرگاه داشته باشیم:

مثال:
1 . در عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم:

تحت عمل * شرکت پذیر است.
2 . روی مجموعه عمل * را به صورت زیر بیان میکنیم :

عمل * روی خاصیت شرکت پذیری دارد.
3 . عمل تفاضل در خاصیت شرکت پذیری ندارد.

---

نیمگروه:
مجموعه یک نیمگروه است ، هرگاه تحت * بسته و شرکت پذیر باشد.
مثال:
1 . تحت جمع نیمگروه است.
2 . تحت تفاضل نیمگروه نیست.
3 . هرگاه مجموعه توابع پیوست به روی باشد ، آنگاه تحت عمل جمع ، یک نیمگروه است.
4 . مجموعه توابع تعریف شده روی تحت عمل ترکیب توابع ، یک نیمگروه است.

---

خاصیت جابجایی:

مجموعه واجد خاصیت جابجایی است ، هرگاه:

مثال:
اگر مجموعه بردار ها باشد و به معنی ضرب داخلی باشد ، آنگاه دارای خاصیت جابجایی است. اما که در آن به معنی ضرب خارجی است، دارای خاصیت جابجایی نیست.

---

عضو خنثی:

فرض میکنیم تعریف شده باشد .در صورتیکه عضوی مانند یافت شود ، به طوریکه برای هر داشته باشیم:

آنگاه را عضو خنثی می نامیم.

---

عضو وارون:

اگر تعریف شده باشد ، و عنصر خنثی تحت * باشد ، برای هر عنصر را وارون می نامیم هرگاه: