تاریخچه ی:
سریهای نامتناهی
!تعریف
هر عبارت به صورت{TEX()} {a_1+a_2+a_3+...+a_n+...} {TEX} را یک سری نامتناهی (یا به طور ساده) یک سری مینامیم.
هر یک از اعداد {TEX()} {a_i} {TEX} را یک جمله این سری نامیده و ((سریهای متناهی|مجموعهای متناهی))
::text::{TEX()} {S_1=a_1} {TEX}
::text::{TEX()} {S_2=a_1+a_2} {TEX}
و به طور کلی
::text::{TEX()} {S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n} {TEX}
را مجموعهای جزئی اول، دوم، سوم و nام سری {TEX()} {suma_n} {TEX} میگوییم. همچنین دنباله
::text::{TEX()} {\left(S_n\right)=S_1,S_2,S_3,...,S_n} {TEX}
را دنباله مجموعهای جزئی سری مینامیم.
!همگرایی سریها
فرض میکنیم {TEX()} {suma_n} {TEX} یک سری و {TEX()} {\left(S_n\right)} {TEX} دنباله مجموعهای جزئی آن باشد. در این صورت ، اگر دنباله {TEX()} {\left(S_n\right)} {TEX} همگرا باشد، یعنی {TEX()} {\lim_{n\to\infty}S_n=S} {TEX} وجود داشته باشد، سری {TEX()} {suma_n} {TEX} را همگرا و S را مجموع آن مینامیم. در غیر اینصورت سری {TEX()} {suma_n} {TEX} را واگرا میگوییم.
!!شرط لازم همگرایی
اگر سری {TEX()} {suma_n} {TEX} ((همگرایی سریها|همگرا)) باشد، وقتی که {TEX()} {{n\to\infty}} {TEX}، جمله عمومی آن به سوی صفر میگراید.
!آزمون واگرایی
اگر {TEX()} {\lim_{n\to\infty}a_n\ne} {TEX}، یا وجود نداشته باشد، آنگاه سری {TEX()} {suma_n} {TEX} واگراست.
!سری هندسی
هر سری به صورت {TEX()} {\sum_{n=1}^\nftya_r^n-1=a+axr+axr^2+...+ar^n-1+...} {TEX}
را که در آن r,a اعدادی حقیقی هستند و {TEX()} {a\ne0} {TEX} ، مینامیم. a را جمله اول، r را قدر نسبت این ((سری هندسی)) میگوییم.
!!ویژگیهای سری هندسی
سری هندسی دارای ویژگی های زیر است:
__الف)__ اگر {TEX()} {\left|r\right|} {TEX} ، این سری همگرا است و مقدار سری هندسی برابر است با {TEX()} {\frac{a}{1-r}} {TEX .
__ب)__ اگر {TEX()} {\left|r\right|} {TEX}، این سری واگراست.
!قضایای مهم در سریها
*اگر {TEX()} {\suma_n} {TEX} و {TEX()} {\suma_b} {TEX} دو سری همگرا باشند، آنگاه
__الف)__ {TEX()} {\sum\left(a_n+b_n\right)} {TEX} همگرا است و {TEX()} {\sum\left(a_n+b_n\right)=\suma_n+sumb_n} {TEX}.
__ب)__ اگر C عددی حقیقی باشد، آنگاه {TEX()} {\sumcxa_n} {TEX} همگرا است و {TEX()} {\sumcxa_n=c\sum} {TEXa_n}.
*فرض میکنیم سری {TEX()} {\suma_n} {TEX} واگرا و سری {TEX()} {\sumb_n} {TEX} همگرا باشد. در این صورت:
الف) سری {TEX()} {\sum\left(a_n+b_n\right)} {TEX} واگراست.
ب) اگر C عددی ناصفر باشد، آنگاه سری {TEX()} {\sumcxa_n} {TEX} واگراست.
از این دو قضیه میتوان دو نتیجه به دست آورد:
__نتیجه1)__ ضرب هر جمله سری در ثابتی غیر صفر تاثیری در همگرایی یا واگرایی سری ندارد.
__نتجه2)__ حذف (یا جمع) یک تعداد متناهی از جملات سری تاثیری در همگرایی یا واگرایی سری ندارد.
!آزمون انتگرال
فرض میکنیم {TEX()} {\sum_{n=1}^\inftya_n} {TEX} یک سری و f یک تابع باشد که به ازای{TEX()} {x\ge1} {TEX} نامنفی، پیوسته و کاهشی است و به ازای {TEX()} {n\ge1} {TEX}، {TEX()} {f\left(n\right)=a_n} {TEX} در این صورت:
__الف)__ سری {TEX()} {a_n} {TEX} همگرا است اگر انتگرال ناسره{TEX()} {\int_{1}^{infty}f\left(x\right)\,dx} {TEX\} همگرا باشد، و
__ب)__ سری {TEX()} {a_n} {TEX} واگرا است اگر {TEX()} {\int_{1}^{infty}f\left(x\right)\,dx} {TE} واگرا باشد.
!آزمون مقایسه حدی
فرض کنیم {TEX()} {\suma_n} {TEX} و {TEX()} {\sumb_n} {TEX} دو سری باشند به طوری که به ازای هر n ،{TEX()} {a_n\ge0} {TEX} و {TEX()} {a_n\ge0} {TEX} , {TEX()} {b_n\ge0} {TEX}، اگر {TEX()} {\lim\frac{a_n}{b_n}} {TEX} باشد در این صورت:
__الف)__ اگر L>0 باشد، آنگاه یا هر دو سری همگرا یا هر دو واگرا هستند.
__ب)__ اگر L=0 و {TEX()} {\sumb_n} {TEX} همگرا باشد، آنگاه {TEX()} {\suma_n} {TEX}نیز همگرا است.
__ج)__ اگر {TEX()} {L=\infty} {TEX}و {TEX()} {\sumb_n} {TEX}اگرا باشد، آنگاه {TEX()} {\suma_n} {TEX} واگراست.
!!سری متناوب
میگویند یک ((سریهای متناوب|سری عددی متناوب)) است، هرگاه علامت جملات آن به طور متناوب مثبت و منفی باشد.
!آزمون لایبنیتز
اگر در سری متناوب {TEX()} {a_1-a_2+a_3+...+\left(-1\right)^n+1a_n+...} {TEX} قدرمطلق هر جمله از قدرمطلق جمله قبل کوچکتر و حد دنباله {TEX()} {a_n} {TEX} در nای که به بینهایت میل میکند برابر صفر باشد، سری همگراست و مجموع آن عددی مثبت و کوچکتر از جمله اول سری است.
!همگرایی مطلق و مشروط
#اگر سری {TEX()} {\sum\left|a_n\right|} {TEX} همگرا باشد، میگوییم که سری {TEX()} {\suma_n} {TEX} همگرای مطلق است.
#اگر سری {TEX()} {\suma_n} {TEX} همگرا ولی {TEX()} {\sum\left|a_n\right|} {TEX} واگرا باشد (یعنی این سری همگرا، همگرای مطلق نباشد) آنگاه میگوییم که سری{TEX()} {\suma_n} {TEX} همگرای مشروط است.
!سریهای مختلط
سریهایی که جملات آنها اعداد مختلط هستند به صورت زیر تعریف میشوند:
::text::{TEX()} {S_n=\suma_n+ix\sumb_n} {TEX}
!اعمال روی سریها
!!جمع سریها
اگر دو سری {TEX()} {a_n} {TEX} {TEX()} {b_n} {TEX} به جملات حقیقی یا مختلط همگرا باشند، و مجموع آنها را به ترتیب با A و B نمایش دهیم، آنگاه سری {TEX()} {\sum\left(a_n+b_n\right)} {TEX} که جمله عمومی آن {TEX()} {a_n+b_n} {TEX} است همگرا و مجموع آن برابر A+B میباشد.
!!ضرب سریها
اگر دو سری {TEX()} {a_n} {TEX} {TEX()} {b_n} {TEX} با جملات حقیقی یا مختلط همگرایی مطلق باشند، و مجموع آنها را به ترتیب با A و B نمایش دهیم، آنگاه سری {TEX()} {\suma_nb_n} {TEX} همگرای مطلق است و مجموع آن برابر است با AB.
!مباحث مرتبط با عنوان
*((انتگرال))
*((تصاعد حسابی))
*((تصاعد هندسی))
*((سری هندسی))
*((سریهای متناوب))
*((سریهای متناهی))
*((همگرایی سریها))
*((واگرایی سریها))