زیرگروه نرمال:
فرض کنید یک گروه است و . هرگاه برای هر داشته باشیم ، گوییم نرمال در است و آنرا با نماد نمایش می دهیم.
همچنین زیر مجموعه از را با نماد نمایش می دهیم ، بنا به تعریف نرمال در است ، اگر و فقط اگر
قضیه:
اگر ، آنگاه گزاره های زیر هم ارزند :
1 .
2 .
3 .
اثبات:
:
فرض می کنیم . کافیست نشان دهیم :

چون ، پس رابطه برقرار است. کافیست نشان دهیم :

اما برای هر داریم:

بنابراین که است. لذا ، یعنی
بنابراین :

:
فرض میکنیم برای هر ، شرط برقرار است .آنگاه
:
فرض می کنیم برای هر داریم .ثابت میکنیم :
کافیست نشان دهیم :

اما چون ، لذا برای هر ، عنصری مانند وجود دارد که .بنابراین :

قضیه:
اگر یک گروه و و همچنین باشد ، آنگاه .
اثبات:
چون ، بنابراین برای هر داریم :

رابطه اخیر که آن را * نامگذاری می کنیم، نتیجه میدهد یا .
اگر ،آنگاه :

در این حالت طبق قضیه قبل خواهد شد.
اگر آنگاه نشان میدهیم :
ابتدا نشان میدهیم :
بدیهی است . این رابطه از رابطه * قابل دسترسی است.
همچنین . زیرا برای هر بدیهی است . زیرا اگر ، با توجه به اینکه است ، خواهیم داشت :

که این تناقض است.
بنابراین طبق رابطه * .یعنی
لذا خواهد شد .
مشابهاً . پس .یعنی .
نکته :
1 . اگر یک گروه باشد ، آنگاه .
2 . اگر گروه جابجایی باشد و زیرگروه دلخواه آن باشد ، آنگاه
3 . نرمال بودن دارای خاصیت تعدی نیست.
4 . فرض کنید یک گروه و زیرگروه آن باشد . همچنین فرض کنید و عناصر دلخواه گروه باشند ، آنگاه اگر و فقط اگر .
5 . هرگاه آنگاه .
اگر که یک عدد اول است ، باشد ، آنگاه تمام زیرگروه های نرمال هستند.
زیرگروه ماکسیمال:
زیرگروه نرمال از گروه را زیرگروه نرمال ماکسیمال می نامند . اگر و زیرگروه نرمال محض از ، مانند یافت نشود ، به طوریکه .
تذکر:
1 . برای اثبات ماکسیمال بودن یک زیرگروه ، فرض می کنیم و ثابت می کنیم
2 . زیر گروه نرمال ماکسیمال ، در هر گروه ، منحصر بفرد نمی باشد .