زیرگروه خارج قسمتی :
فرض کنید
یک گروه و
.مجموعه همدسته های
در
را با نماد
نمایش می دهیم و :
قانون ترکیب را در مجموعه
چنین تعریف می کنیم :
به گروه خارج قسمتی
به
معروف است.
تذکر:
اگر
گروه جمعی باشد ، آنگاه :
و قانون ترکیب را به صورت زیر تعریف میکنیم:
قضیه :
اگر
، آنگاه
یک گروه است . در صورتیکه
گروه متناهی باشد ، آنگاه مرتبه
برابر است با
اثبات:
ابتدا نشان میدهیم که
گروه است :
بسته است . چرا که اگر
آنگاه :
این مجموعه شرکت پذیر نیز می باشد .زیرا:
با توجه به اینکه
یک گروه است ، بنابراین :
اکنون به بررسی خاصیت عنصر خنثی می پردازیم :
حال خاصیت عنصر وارون هر عضو را بررسی میکنیم :
بنابراین:
جابجاگر:
اگر
، آنگاه عنصر
را جابجاگر
می نامند و نشان می دهیم :
نکته:
1 . اگر
گروه جابجایی باشد ،آنگاه
و برعکس.
2. در حالت کلی مجموعه تمام جابجاگرها یک گروه را تشکیل نمی دهند ، به عبارت دیگر حاصلضرب دو جابجا گر ، لزومی ندارد که یک جابجاگر باشد .
3 . برای هر
داریم:
گروه مشتق ( گروه جابجاگر ها ):
اگر
یک گروه باشد ، مجموعه
را به صورت زیر تعریف میکنیم :
که
معرف حاصلضرب تعداد متناهی جابجاگر است .
را گروه مشتق یا جابجاگر های
می نامند.
قضیه :
اگر
یک گروه باشد ،آنگاه
اثبات :
میدانیم
.زیرا
و همچنین
.
حال فرض می کنیم
دلخواه باشند . ثابت کنیم
:
بنابراین:
لذا
. حال ثابت می کنیم
:
قضیه :
اگر
و همچنین
باشد ،آنگاه
جابجایی است اگر و فقط اگر
اثبات:
فرض کنیم
عناصر دلخواه
باشند.
میدانیم
عنصر خنثی گروه خارج قسمتی
است.
جابجاگر دلخواه
را از گروه
در نظر می گیریم . آنگاه
جابجایی است ، اگر و تنها اگر: