زیرگروه:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است.در بین زیر مجموعه های نا تهی {TEX()} {G} {TEX} ، زیر مجموعه هایی وجود دارند که تحت عمل دوتایی تعریف شده در{TEX()} {G} {TEX} یعنی {TEX()} {*} {TEX} تشکیل یک گروه میدهند و با توجه به این نوع زیر مجموعه ها میتوان زیر گروه را به صورت زیر تعریف نمود:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است و {TEX()} {\varnothing \neq H \subseteq G} {TEX} باشد. در این صورت {TEX()} {(H,*)} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} است ، هرگاه شرایط یک گروه را داشته باشد.
قرارداد:
1 . هرگاه {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه باشد و {TEX()} {(H,*)} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد مینویسیم : {TEX()} {H \le G} {TEX} .
2 . هرگاه {TEX()} {H<G} {TEX} در این صورت {TEX()} {H} {TEX} را زیر گروه محض {TEX()} {G} {TEX} تحت {TEX()} {*} {TEX} گویند.
3 . تنها زیرگروه تک عضوی هر گروه ، زیرگروه تشکیل شده توسط عنصر خنثی گروه است . و زیرگروه {TEX()} {{e}} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه بدیهی آن می نامند و تمام زیرگروه های {TEX()} {G} {TEX} که مساوی {TEX()} {{e}} {TEX} نباشند ، زیرگروه نابدیهی {TEX()} {G} {TEX} می نامند.
4 . {TEX()} {G} {TEX} را زیرگروه نابدیهی غیر واقعی {TEX()} {G} {TEX} می نامند.
نتیجه:
هر گروه دارای حداقل دو زیر گروه است.
قضیه:
زیر مجموعه ناتهی {TEX()} {H} {TEX} از گروه {TEX()} {G} {TEX} ، زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ،اگر و فقط اگر:
1 . {TEX()} {G} {TEX} تحت عمل در {TEX()} {G} {TEX} بسته باشد.
2 . عضو خنثی {TEX()} {e} {TEX} از {TEX()} {G} {TEX} ، به {TEX()} {H} {TEX} متعلق باشد.
3 . برای هر {TEX()} {a \in H} {TEX} داشته باشیم {TEX()} {a^-1 \in H} {TEX}.
اثبات:
اگر {TEX()} {H} {TEX} زیر گروه {TEX()} {G} {TEX} باشد ، بدیهی است که سه شرط فوق برقرار است.
حال فرض میکنیم که سه شرط فوق برقرار باشند. ثابت میکنیم {TEX()} {H \le G} {TEX} :
برای زیرگروه بودن {TEX()} {H} {TEX} ، لازم است {TEX()} {H} {TEX} با توجه به عمل تعریف شده در {TEX()} {G} {TEX} ، دارای خاصیت شرکت پذیری باشد .
اما با توجه به این که خاصیت شرکت پذیری یک گروه ، به تمام زیر مجموعه های آن تحت آن عمل ، انتقال می یابد. ( به ارث میرسد). پس شرکت پذیری نیز در {TEX()} {H} {TEX} برقرار است.
لذا {TEX()} {H \le G} {TEX}.
قضیه:
فرض کنید {TEX()} {(G,*)} {TEX} یک گروه است و {TEX()} {\varnothing \neq H \subseteq G} {TEX} . در این صورت {TEX()} {H \le G} {TEX} اگر و فقط اگر:
{TEX()} {\forall a,b \in H : a*b^\prime \in H} {TEX}
که در این رابطه {TEX()} {b^\prime} {TEX} وارون {TEX()} {b} {TEX} در{TEX()} {(G,*)} {TEX} است.
اثبات:
اگر{TEX()} {H \le G} {TEX} ، بدیهی است برای هر {TEX()} {a,b \in H} {TEX} ، شرط {TEX()} {a,b^\prime \in H} {TEX} برقرار است. بنابراین کافیست نشان دهیم:
{TEX()} {\forall a,b \in H :a*b^\prime \inH \Rightarrow H \le G} {TEX}.
برای این کار ، نشان میدهیم ، سه شرط قضیه فوق در {TEX()} {H } {TEX} صدق میکند:
خاصیت عضو خنثی:
چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار میدهیم ، {TEX()} {a=b} {TEX} لذا:
{TEX()} {a*b^\prime \inH \Rightarrow b*b^\prime =e \in H} {TEX}
حال خاصیت وارون هر عضو را در {TEX()} {H} {TEX} بررسی میکنیم:
چون {TEX()} {a,b} {TEX} دلخواه هستند ، قرار میدهیم ، {TEX()} {a=e} {TEX}.بنابراین:
{TEX()} {a*b^\prime \inH \Rightarrow e*b^\prime=b^\prime \in H} {TEX}
یعنی وارون هر عضو ، در {TEX()} {H} {TEX} قرار دارد.
اکنون بسته بودن را بررسی میکنیم:
{TEX()} {\forall a,b \in H : b^\prime \in H \Rightarrow a*b=a*(b^\prime)^\prime \in H} {TEX}
بنابراین{TEX()} {H \le G} {TEX}.
نکته:
1 . اگر{TEX()} {G} {TEX} یک گروه ضربی باشد ، {TEX()} {\varnothing \neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
{TEX()} {\forall a,b \in H : ab^-1 \inH} {TEX}
2 . همچنین اگر{TEX()} {G} {TEX} یک گروه جمعی باشد ، {TEX()} {\varnothing \neq H \subseteq G} {TEX} زیرگروه {TEX()} {G} {TEX} است ، اگر و فقط اگر:
{TEX()} {\forall a,b \in H : a-b \inH} {TEX}