||V{maketoc}||
^@#16:
!دترمینان
به هر ((ماتریس)) مربع از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} مانند{TEX()} {A} {TEX} می‌توان عددی را نسبت داد.این عدد را با نماد {TEX()} {|A|} {TEX} یا {TEX()} {det(A)} {TEX} نمایش می‌دهیم و آن را دترمینان {TEX()} {A} {TEX} می‌خوانیم.
اگر :
@@{picture=img/daneshnameh_up/a/aa/determinan11.JPG}@@
آنگاه:
@@ {TEX()} {det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} {TEX}@@
---
!!خواص دترمینان
اگر ستون‌های ماتریس {TEX()} {A} {TEX} را با {TEX()} {A_2,A_1} {TEX} نشان دهیم آنگاه {TEX()} {A=[A_1,A_2]} {TEX} و خواهیم داشت :
@@{TEX()} {det[A_1+{A^\prime}_1,A_2]=det[A_1,A_2]+det[{A^\prime}_1,A_2]} {TEX}@@
@@{TEX()} {det[A_1,cA_2]=c det[A_1,A_2]} {TEX}@@
@@ {TEX()} {det[cA_1,A_2]=c det[A_1.A_2]} {TEX}@@
@@{TEX()} {det[A,A]=0} {TEX}@@
@@{TEX()} {detI_2=0} {TEX}@@
@@{TEX()} {det[A_1,A_2]=det[A_1,cA_1+A_2]} {TEX}@@
@@{TEX()} {det[A_1,A_2]=det[cA_2+A_1,A_2]_} {TEX}@@
@@{TEX()} {det[A_1,A_2]=-det[A_2,A_1]} {TEX}@@
@@{TEX()} {det[A,0]=0} {TEX}@@
---
!تعریف
اگر {TEX()} {A} {TEX} یک ((ماتریس)) مربع از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} باشد آنگاه ماتریس حاصل از حذف سطر {TEX()} {i} {TEX} ام و ستون {TEX()} {j} {TEX} ام که یک ماتریس از مرتبه {TEX()} {n-1} {TEX} در {TEX()} {n-1} {TEX} است را با نماد {TEX()} {\mathcal {A}_{ij}} {TEX} نمایش می‌دهیم.در اینصورت:
@@{TEX()} {|A|=\sum_{j=1}^n(-1)^{k+j}a_{kj}det \mathcal {A}_{kj}} {TEX}@@
---
!!قضیه1
اگر {TEX()} {B,A} {TEX} دو ماتریس باشند آنگاه:
# {TEX()} {det(AB)=det(A)det(B)} {TEX}
# {TEX()} {det(A)=det(A^T)} {TEX}
#اگر {TEX()} {A} {TEX} وارون پذیر باشد آنگاه {TEX()} {det(A) \neq 0} {TEX}
---
!!قضیه2
اگریک ستون از ((ماتریس)) مربع {TEX()} {A} {TEX} از مرتبه {TEX()} {n} {TEX} مضربی از ستون دیگر آن باشد آنگاه{TEX()} {det(A)=0} {TEX}
__اثبات:__
@@{TEX()} {A=[A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots ,kA_i, \cdots ,A_n]} {TEX}@@
بنابراین:
@@{TEX()} {detA=det[A_1,A_2, \cdots ,A_i,\cdots ,kA_i, \cdots ,A_n]} {TEX}@@
لذا:
@@{TEX()} {det(A)=det[A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots ,kA_i-kA_i, \cdots ,A_n]=det[A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots ,0, \cdots ,A_n]=0} {TEX}@@---
!!قضیه3
{TEX()} {det(A^n)=(detA)^n} {TEX}
__اثبات:__
به ((استقرا)) روی{TEX()} {n} {TEX} عمل می‌کنیم:
@@{TEX()} {p(n=1):\ \ det(A^1)=(detA)^1} {TEX}@@
فرض استقرا:
@@{TEX()} {p(n=k):\ \ det(A^k)=(detA)^k} {TEX}@@
حکم استقرا:
@@{TEX()} {p(n=k+1):\ \ det(A^{k+1})=(detA)^{k+1}} {TEX}@@
اما
@@{TEX()} {det(A^{k+1})=det(A^kA)=det(A^k)det(A)=(detA)^kdet(A)=(detA)^{k+1}} {TEX}@@

!همچنین ببینید
*((ماتریس))
*((فضاهای برداری))

#@^