{picture=Excircles.png}

یک مثلث (سیاه) با دایره داخلی (بنفش)، دوایر خارجی (آبی)، نیمسازهای زوایای داخلی (قرمز) و نیمسازهای زوایای خارجی (سبز)

__دایره های محاطی داخلی و خارجی یک مثلث__

در ((هندسه))، __دایره محاطی داخلی__ یک ((مثلث)) بزرگترین ((دایره))ای است که آن مثلث میتواند در بر بگیرد؛ این دایره سه ضلع آنرا لمس مینماید ( بر آنها ((مماس)) میباشد). مرکز دایره محاطی __مرکز داخلی__ مثلث نامیده میشود. یک __دایره محاطی خارجی مثلث__، یک دایره در خارج مثلث است که بر یکی از اضلاع مثلث و امتداد دو ((ضلع)) دیگر مماس باشد. هر مثلث دارای سه دایره محاطی خارجی متمایز، که هر کدام بر یکی از اضلاع مثلث مماس میباشد.

مرکز دایره محاطی داخلی بر روی تقاطع نیمسازهای زوایای داخلی قرار دارد. مرکز یک دایره محاطی خارجی بر روی تقاطع نیمساز یک ((زاویه)) داخلی و نیمسازهای خارجی دو زاویه دیگر قرار دارد. از این رو، استنباط میگردد که مرکز دایره محاطی داخلی و سه مرکز دایره های محاطی خارجی یک ((سیستم چهارمرکزی)) (orthocentric) را تشکیل میدهند.

شعاع این دوایر ارتباط نزدیکی با سطح یک مثلث دارد. اگر ''S'' سطح مثلث و اضلاع آن ''b'' ،''a'' و ''c'' باشند،

شعاع دایره داخلی ( که "شعاع داخلی" نیز گفته میشود) برابر است با: (''S''/(2(''a''+''b''+''c'').

شعاع دایره خارجی در سمت ''a'' برابر است با: (''S''/(2(-''a''+''b''+''c'')،

برای دایره در سمت ''b'' برابر است با: (''S''/(2(''a''-''b''+''c'')

و برای دایره در سمت ''c'' برابر است با: (''S''/(2(''a''+''b''-''c'').

از این روابط درمیابیم که دوایر خارجی از دایره داخلی بزرگتراند و بزرگترین دایره خارجی، دایره ای است که به بزرگترین ضلع چسبیده است.

(( تصویر:contact_triangle.png|Triangle with incircle, contact triangle and Gergonne point))

مثلث با دایره داخلی (سیاه), مثلث تماس (قرمز)، نقطه جرگونه (سبز)

((دایره نه نقطه)) ای مثلث بر سه دایره خارجی و همچنین دایره داخلی مماس میباشد. ((نقطه فورباخ))(Feuerbach) روی دایره داخلی قرار دارد.

با علامت گذاری رئوس مثلث با ''B''، ''A'' و ''C'' و سه نقطه تماس دایره داخلی و مثلث با ''T_B''، ''T_A'' و ''T_C'' (که ''T_A'' روبروی ''A'' قرار داشته و به همین ترتیب بقیه)، مثلث ''T_AT_BT_C'' __مثلث تماس__ ''ABC'' نامیده میشود. دایره داخلی ''ABC'' یک ((circumcircle|دایره محیطی)) بر ''T_AT_BT_C'' میباشد. سه خط ''BT_B'' ، ''AT_A'' و ''CT_C'' در یک نقطه