تاریخچه ی:
توزیع دوجملهای
||V{maketoc}||
^@#16:
!توزیع دو جمله ای
امتحان های تکراری نقش بسیار مهمی در آمار و احتمال بازی می کنند خصوصا" وقتی تعداد امتحان ها ثابت و پارامتر {TEX()} {\theta} {TEX} (احتمال پیروزی) برای تمام امتحان ها برابر و امتحان ها همگی مستقل باشند.
به منظور تهیه فرمولی برای احتمال به دست آوردن "{TEX()} {x} {TEX} پیروزی در {TEX()} {n} {TEX} امتحان " تحت شرایطی که بیان شد ملاحضه کنید که احتمال به دست آوردن {TEX()} {x} {TEX} پیروزی و {TEX()} {n-x} {TEX} شکست در یک ترتیب مشخص برابر {TEX()} {{\theta}^x \times{(1- \theta)^{n-x}} {TEX} است. برای هر پیروزی یک عامل {TEX()} {\theta} {TEX} و برای هر شکست یک عامل {TEX()} {1- \theta} {TEX} وجود دارد و بنا بر فرض استقلال {TEX()} {x} {TEX} عامل {TEX()} {\theta} {TEX} و {TEX()} {n-x} {TEX} عامل {TEX()} {1- \theta} {TEX} در یکدیگر ضرب می شوند. چون این احتمال با هر دنباله ای از {TEX()} {n} {TEX} امتحان که در آن {TEX()} {x} {TEX} پیروزی و {TEX()} {n-x} {TEX} شکست وجود دارد همراه است تنها باید تعداد ((دنباله)) هایی از این نوع را بشماریم و سپس {TEX()} {{\theta}^x \times {(1- \theta)}^{n-x}} {TEX} را در این تعداد ضرب کنیم.روشن است تعداد راه هایی که می توانیم {TEX()} {x} {TEX} امتحان را که برآمد همه آنها پیروزی است انتخاب کنیم برابر است با {TEX()} {{n \choose x}} {TEX} و نتیجه می شود که احتمال مطلوب برای " {TEX()} {x} {TEX} پیروزی در {TEX()} {n} {TEX} امتحان " برابر {TEX()} {{n \choose x} \times { \theta}^x \times {(1- \theta)}^{n-x}} {TEX} است.
---
! تعریف
((متغیر تصادفی)) {TEX()} {X} {TEX} توزیع دوجمله ای دارد و به آن عنوان متغیر تصادفی دو جمله ای داده می شود اگر و تنها اگر ((توزیع احتمال)) آن به صورت زیر باشد:
@@{TEX()} b(x;n, \theta)={n \choose x} \times { \theta}^x \times {(1- \theta)}^{n-x} \ ; \ x=0,1,2, \cdot \cdot \cdot ,n}} {TEX}@@
---
!قضیهها
!!قضیه(1)
@@{TEX()} {b(x;n, \theta)=b(n-x;n,1- \theta)} {TEX}@@
!!قضیه(2)
((میانگین)) و ((واریانس)) توزیع دو جمله ای برابرند با :
@@{TEX()} {{\sigma}^2=n \times \theta \times (1- \theta) \ , \ \mu=n \theta} {TEX}@@
!!قضیه(3)
اکر {TEX()} {X} {TEX} توزیع دو جمله ای با پارامترهای {TEX()} {\theta,n} {TEX} باشد و {TEX()} {Y= \frac{X}{n}} {TEX} آنکاه:
@@{TEX()} {E(Y)= \theta \ , \ {{\sigma}_Y}^2= \frac{ \theta \times (1- \theta)}{n}} {TEX}@@
!!قضیه(4)
((تابع مولد گشتاور)) توزیع دوجمله ای به صورت {TEX()} {M_X(t)={[1+ \theta \times(e^t-1)]}^n} {TEX} است.
---
!نکته
اگر {TEX()} {k} {TEX} امین پیروزی در {TEX()} {x} {TEX} امین امتحان رخ دهد باید {TEX()} {k-1} {TEX} پیروزی در اولین {TEX()} {x-1} {TEX} امتحان وجود داشته باشد و احتمال این پیشامد عبارت است از :
@@{TEX()} {b(k-1;x-1, \theta)={x-1 \choose k-1} \times { \theta}^{k-1} \times (1- \theta)^{x-k}} {TEX}@@
احتمال یک پیروزی در {TEX()} {k} {TEX} امین امتحان برابر است با {TEX()} {\theta} {TEX} و بنا براین احتمال آن که {TEX()} {k} {TEX} امین پیروزی در {TEX()} {x} {TEX} امین احتمال رخ دهد برابر است با:
@@{TEX()} {\theta \times b(k-1;x-1, \theta)={x-1 \choose k-1} \times { \theta}^k \times(1- \theta)^{x-k}} {TEX}@@
---
!توزیع دوجمله ای منفی
متغیرتصادفی {TEX()} {X} {TEX} توزیع دوجمله ای منفی دارد و به آن عنوان متغیر تصادفی دوجمله ای منفی داده می شود اکر و تنها اگر توزیع احتمالش به ازای {TEX()} {x=k,k+1,k+2, \cdot \cdot \cdot } {TEX} به صورت زیر باشد:
@@{TEX()} {b^ \prime(x;k, \theta)={x-1 \choose k-1} \times{\theta}^k \times(1- \theta)^{x-k}} {TEX}@@
---
!!قضیه(5)
{TEX()} {b^ \prime(x;k, \theta)= \frac{k}{x} \times b(k;x, \theta)} {TEX}
!!قضیه(6)
میانگین و واریانس توزیع دوجمله ای منفی عبارتند از :
@@{TEX()} {{\sigma}^2= \frac{k}{ \theta} \times( \frac{1}{ \theta}-1) \ , \ \mu= \frac{k}{ \theta}} {TEX}@@
---
!همچنین ببینید
*((توزیع نرمال))
*((توزیع برنولی))
#@^