!مقدمه
تاکنون توابع حقیقی و توابع برداری را که تنها دارای یک متغیر مستقل بودند مورد مطالعه قرار دادیم. اگرچه بسیاری از پدیده های جهان فیزیکی توسط این توابع توصیف می شوند، ولی اغلب کمیتهای فیزیکی در واقع به بیش از یک متغیر وتابسته هستند. به عنوان مثال، حجم یک ((مکعب)) مستطیل به طول، عرض و ارتفاع آن و دمای نقطه ای از یک جسم به مختصات آن نقطه (و احتمالا زمان) بستگی دارد. متناظر با هر کمیتی که به چند متغیر وابسته باشد، یک تابع با چند متغیر وجود دارد.
!تعریف:
تابع f که دامنه آن زیرمجموعه ای از Rn و برد آن مجموعه ای از اعداد حقیقی باشد را یک تابع (حقیقی) n متغیره می گوییم.

تابع f که دامنه آن زیرمجموعه ای از Rn و برد آن مجموعه ای از ((اعداد حقیقی)) باشد را یک تابع (حقیقی) n متغیره می گوییم.
!توابع دو متغیره و سه متغیره:
تابع f یک تابع دو متغیره است، اگر دامنه آن مجموعه ای از نقاط صفحه باشد. به همین ترتیب f را یک تابع سه متغیره می گوییم اگر دامنه آن مجموعه ای از نقاط فضا باشد.
!اعمال جبری در مورد توابع دو متغیره:
مجموع، حاصلضرب و خارج قسمت دو تابع دو (یا چند) متغیره به صورت زیر تعریف می شوند:
اگر f و g دو تابع با دو متغیر باشند، آنگاه:
(f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y)
(f-g)(x,y)=f(x,y)-g(x-y)
(fg)(x,y)=f(x,y).g(x,y)
(f/g)(x,y)=f(x,y)/g(x,y)
دامنه توابع حاصلجمع، تفاضل و حاصلضرب f و g برابر با اشتراک دامنه های f و g است، و دامنه خارج قسمت f و g برابر با مجموع نقاط (x,y) مشترک بین دامنه های f و g است
!سطوح تراز:
با وجودی که رسم نمودار توابع دو متغیره به آسانی رسم نمودار توابع یک متغیره نیست، نمودار بسیاری از این توابع را می توانیم رسم کنیم. ولی رسم نمودار توابع سه متغیره ممکن نیست، زیرا برای این کار به چهار بعد نیاز است. با این وجود، با استفاده از سطوحی به نام "سطوح تراز" می توان اطلاعات مفیدی در مورد توابع سه متغیره به دست آورد. اگر f یک تابع سه متغیره باشد، آنگاه به ازای هر c مجموعه همه نقاط (x,y,z) را به طوری که f(x,y,z)=0 یک سطح تراز f می نامیم. به عنوان مثال، اگر f(x,y,z) نمایش دمای نقطه (x,y,z) باشد، آنگاه سطح تراز f(x,y,z)=c سطحی است که دمای تمام نقاط آن مقدار ثابت c است. به ازای c=0، سطح تراز g(x,y,z)=0 نمودار تابع f با معادله z=f(x,y) است. به این دلیل، نمودار یک تابع دو متغیره را یک سطح با یک رویه می نامیم. برای رسم سطوح تراز، مقطع آن را با صفحه های x=c، y=c و z=c پیدا می کنیم. هر یک از این مقاطع را یک اثر سطح تراز می نامیم. مهمترین سطوح تراز سطوح تراز درجه دوم هستند.
!سطوح یا رویه های درجه دوم:
سطوح درجه دوم به 9 دسته تقسیم می شوند. در زیر a، b و c اعداد حقیقی و مثبت هستند.
(1) __بیضیوار:__
اگر a=b باشد، نمودار این بیضیوار یک دایره است. همچنین، اگر a=b=c، آنگاه نمودار این بیضیوار یک کره به مرکز مبدا و شعاع a است. اثر بیضیوار در صفحه z=k به شکل بیضی است.
(2) __استوانه بیضوی:__
اگر a=b، این سطح یک استوانه (مدور) است. اثر ((استوانه بیضوی)) در صفحه های z=k یک بیضی است.
(3) مخروط (دو پارچه) بیضوی:
اثر مخروط در صفحه های z=k یک بیضی (یا دایره، a=b) یا یک نقطه اگر (k=0) است. اثر این مخروط در صفحه های x=0 و y=0 شامل دو خط که از مبدا می گذرند است. اگر a=b، این سطح را یک مخروط (دو پارچه) مدور می نامیم.
(4) __سهمیوار بیضوی:__
اثر سهمیوار در هر صفحه z=k یک بیضی (یا دایره، اگر a=b)، یک نقطه یا تهی است. اثر این سطح در صفحه های x=0 و y=0 یک سهمی است. اگر a=b، این سطح را یک سهمیوار مدور می نامیم.
(5) __ورق سهموی (یا استوانه سهموی):__اثر این سطح با صفحه های y=0 سهمی y=ax2 است.
(6) __سهمیوار هذلولوی:__
اثر این سهمیوار در صفحه های x=0 و y=0 دو سهمی، یک روبه بالا و دیگری روبه پایین است. اثر این سطح در صفحه z=0 متشکل از دو خط متقاطع است. اثر آن در هر صفحه دیگر موازی با صفحه xy یک هذلولوی است. نمودار این سطح شبیه به زین اسب است.
(7) __ورق هذلولوی (یا استوانه هذلولوی دو پارچه):__
اثر این سطح در هر صفحه z=k هذلولوی است.
(8) __ورق هذلولیوار یک پارچه:__اثر این ورق در صفحه های x=0 و y=0 ((هذلولوی)) و در صفحه های z=k یک بیضی (یا دایره، اگر a=b) است.
__(9) هذلولیوار دو پارچه:__اثر این سطح در صفحه های y=k یا x=l یک هذلولوی و در صفحه های z=e یک بیضی (یا دایره، اگر a=b)، یک نقطه یا تهی است.
! مشتق جزئی برای توابع n متغیره:
فرض کنیم f تابعی n- متغیره باشد. اگر همه متغیرها به جز یکی از آنها را ثابت در نظر بگیریم، تابعی با یک متغیر به دست می آید. که این همان مشتق جزئی توابع چند متغیره است.
!مباحث مرتبط با عنوان:
*((مشتق))
*((ترکیب))
*((سطح تراز))
*((منحنی های درجه دوم))
!منابع:
*ریاضی عمومی (2)- تالیف: دکتر محمد مهدی ابراهیمی- انتشارات دانشگاه پیام نور.
*حساب دیفرانسیل و انتگرال و حساب دیفرانسیل- تالیف: جورج ب. توماس- ترجمه: علی اکبر جعفریان و ابولقاسم میامئی- انتشارات دانشگاه صنعتی شریف.