منو
 کاربر Online
1020 کاربر online
تاریخچه ی: تابع همانی

تفاوت با نگارش: 1

Lines: 1-64Lines: 1-64
 ~~brown:@#20:__تابع همانی:__#@~~ ~~brown:@#20:__تابع همانی:__#@~~
 ^@#12:می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب {TEX()} {(a,a)} {TEX} باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:  ^@#12:می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب {TEX()} {(a,a)} {TEX} باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:
 ::{TEX()} {I_A=\{(a,a)|a\in A\}} {TEX}:: ::{TEX()} {I_A=\{(a,a)|a\in A\}} {TEX}::
 این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم: این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم:
 ::{TEX()} {f=\{(a,a)|a\in A\}} {TEX}:: ::{TEX()} {f=\{(a,a)|a\in A\}} {TEX}::
 پس ضابطه تابع همانی {TEX()} {f:A\rightarrow A} {TEX} به این صورت است: پس ضابطه تابع همانی {TEX()} {f:A\rightarrow A} {TEX} به این صورت است:
 ::{TEX()} {\forall x\in A: f(x)=x} {TEX} :: ::{TEX()} {\forall x\in A: f(x)=x} {TEX} ::
 ~~green:__اثبات تابع بودن رابطه همانی:__~~ ~~green:__اثبات تابع بودن رابطه همانی:__~~
 اگر f رابطه همانی روی مجموعه A به صورت مقابل باشد:{TEX()} {f=\{(x,x)|x\in A\}} {TEX} برای اثبات تابع بودن این رابطه کافی است نشان دهیم: ::{TEX()} {\forall x_1,x_2\in A: x_1=x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)} {TEX}:: اگر f رابطه همانی روی مجموعه A به صورت مقابل باشد:{TEX()} {f=\{(x,x)|x\in A\}} {TEX} برای اثبات تابع بودن این رابطه کافی است نشان دهیم: ::{TEX()} {\forall x_1,x_2\in A: x_1=x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)} {TEX}::
 واضح است که: ::{TEX()} {x_1=x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)} {TEX}::  واضح است که: ::{TEX()} {x_1=x_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)} {TEX}::
 پس این رابطه تابع است. پس این رابطه تابع است.
 *از آنجا که معمولا در حساب دیفرانسیل و انتگرال با ((اعداد حقیقی)) و ((توابع حقیقی)) کار می کنیم معمولا تعریف زیر را برای تابع همانی استفاده می کنیم: *از آنجا که معمولا در حساب دیفرانسیل و انتگرال با ((اعداد حقیقی)) و ((توابع حقیقی)) کار می کنیم معمولا تعریف زیر را برای تابع همانی استفاده می کنیم:
 ~~blue:تابع {TEX()} {f:R\rightarrow R} {TEX} را با ضابطه {TEX()} {f(x)=x} {TEX} تابع همانی می گوییم.~~  ~~blue:تابع {TEX()} {f:R\rightarrow R} {TEX} را با ضابطه {TEX()} {f(x)=x} {TEX} تابع همانی می گوییم.~~
 نمودار این تابع بسته به دامنه تابع می تواند نیمساز ربع اول و سوم یا قسمتی از آن باشد. نمودار این تابع بسته به دامنه تابع می تواند نیمساز ربع اول و سوم یا قسمتی از آن باشد.
-اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار این تابع نیمساز ربع اول و سوم خواهد بود که در زیر نمودار آن را مشاهده می کنید: ::{img src=http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/show_image.php?id=18697}::#@^ +اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار این تابع نیمساز ربع اول و سوم خواهد بود که در زیر نمودار آن را مشاهده می کنید: ::{img src=img/daneshnameh_up/4/41/Idint.jpg}::#@^
 *~~red:__@#15:بررسی ویژگی های تابع همانی:#@__~~ *~~red:__@#15:بررسی ویژگی های تابع همانی:#@__~~
-*~~blue:تابع همانی __تنها تابعی__ است که معکوس آن با خودش برابر است.~~ +*~~blue:تابع همانی تابعی است که معکوس آن با خودش برابر است.~~
 ^@#12:__~~green:برهان:~~__ کافی است نشان دهیم اگر {TEX()} {f(x)=x} {TEX} آنگاه {TEX()} {f^{-1}(x)=x} {TEX} برای اثبات از روش یافتن وارون(معکوس) تابع استفاده می کنیم: ^@#12:__~~green:برهان:~~__ کافی است نشان دهیم اگر {TEX()} {f(x)=x} {TEX} آنگاه {TEX()} {f^{-1}(x)=x} {TEX} برای اثبات از روش یافتن وارون(معکوس) تابع استفاده می کنیم:
 ::{TEX()} {f(f^{-1}(x))=x\Rightarrow f^{-1}(x)=x} {TEX}:: ::{TEX()} {f(f^{-1}(x))=x\Rightarrow f^{-1}(x)=x} {TEX}::
 مشاهدی می شود معکوس این تابع با خودش برابر است.  مشاهدی می شود معکوس این تابع با خودش برابر است.
 این مطلب از نظر هندسی هم واضح است چرا که می دانیم برای یافتن نمودار معکوس تابع می توان نمودار آن تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه نمود، حال آنکه قرینه تابع همانی نسبت به نیمساز ربع اول و سوم همان نیمساز ربع اول و سوم(خود تابع) است که نشان می دهد معکوس این تابع با خودش برابر است.#@^ این مطلب از نظر هندسی هم واضح است چرا که می دانیم برای یافتن نمودار معکوس تابع می توان نمودار آن تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه نمود، حال آنکه قرینه تابع همانی نسبت به نیمساز ربع اول و سوم همان نیمساز ربع اول و سوم(خود تابع) است که نشان می دهد معکوس این تابع با خودش برابر است.#@^
 *~~blue:تابع همانی تابعی فرد است.~~ *~~blue:تابع همانی تابعی فرد است.~~
 ^@#12:__~~green:برهان:~~__ باید نشان دهیم {TEX()} {f(-x)=-f(x)} {TEX} ^@#12:__~~green:برهان:~~__ باید نشان دهیم {TEX()} {f(-x)=-f(x)} {TEX}
 داریم: ::{TEX()} {f(-x)=-x=-f(x)} {TEX}:: داریم: ::{TEX()} {f(-x)=-x=-f(x)} {TEX}::
 همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن این تابع است.#@^ همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن این تابع است.#@^
 *~~blue:تابع همانی تابعی یک به یک و پوشا است پس می توان گفت این تابع یک ((تابع دو سویی))(تناظر یک به یک) است.~~ *~~blue:تابع همانی تابعی یک به یک و پوشا است پس می توان گفت این تابع یک ((تابع دو سویی))(تناظر یک به یک) است.~~
 ^@#12:~~green:__برهان:__~~ ابتدا نشان می دهیم این تابع، ((تابع یک به یک)) است: ^@#12:~~green:__برهان:__~~ ابتدا نشان می دهیم این تابع، ((تابع یک به یک)) است:
 به این منظور باید نشان دهیم: ::{TEX()} {\forall x_1,x_2\in D_f: f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2} {TEX}:: به این منظور باید نشان دهیم: ::{TEX()} {\forall x_1,x_2\in D_f: f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2} {TEX}::
 اگر {TEX()} {f(x_1)=f(x_2)} {TEX} باشد طبق تعریف داریم: {TEX()} {(x_1,x_1)=(x_2,x_2)} {TEX} و از این عبارت نتیجه می شود که: {TEX()} {x_1=x_2} {TEX}. پس رابطه همانی یک تابع یک به یک است. اگر {TEX()} {f(x_1)=f(x_2)} {TEX} باشد طبق تعریف داریم: {TEX()} {(x_1,x_1)=(x_2,x_2)} {TEX} و از این عبارت نتیجه می شود که: {TEX()} {x_1=x_2} {TEX}. پس رابطه همانی یک تابع یک به یک است.
 حال نشان می دهیم این تابع پوشا است یعنی برای هر عضو در برد تابع عضوی متناظر در دامنه وجود دارد که آن عضو در دامنه به آن عضو در برد نظیر می شود. با توجه به اینکه برد و دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است باید نشان دهیم: ::{TEX()} {\forall y\in R_f,\exists x\in D_f: f(x)=y} {TEX}:: حال نشان می دهیم این تابع پوشا است یعنی برای هر عضو در برد تابع عضوی متناظر در دامنه وجود دارد که آن عضو در دامنه به آن عضو در برد نظیر می شود. با توجه به اینکه برد و دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است باید نشان دهیم: ::{TEX()} {\forall y\in R_f,\exists x\in D_f: f(x)=y} {TEX}::
  ::{TEX()} {\forall y\in R_f: f(x)=y\Rightarrow y=x} {TEX}::  ::{TEX()} {\forall y\in R_f: f(x)=y\Rightarrow y=x} {TEX}::
 و چون دامنه و برد این تابع برابر است می توان گفت x یافت شده (برای هر y) در دامنه وجود دارد. پس تابع {TEX()} {f(x)=x} {TEX} پوشا است. و چون دامنه و برد این تابع برابر است می توان گفت x یافت شده (برای هر y) در دامنه وجود دارد. پس تابع {TEX()} {f(x)=x} {TEX} پوشا است.
 حال چون تابع همانی هم یک به یک و هم پوشا است می توان گفت این تابع دو سویی است.#@^ حال چون تابع همانی هم یک به یک و هم پوشا است می توان گفت این تابع دو سویی است.#@^
 *~~purple:یادآودی: تابع f را دوسویی با تناظر یک به یک می گوییم هرگاه یک به یک و پوشا باشد.~~ *~~purple:یادآودی: تابع f را دوسویی با تناظر یک به یک می گوییم هرگاه یک به یک و پوشا باشد.~~
 --- ---
 ~~green:__@#14:همچنین ببینید:#@__~~ ~~green:__@#14:همچنین ببینید:#@__~~
 ((رابطه)) ((رابطه))
 ((مفهوم تابع))  ((مفهوم تابع))
 ((ضابطه تابع)) ((ضابطه تابع))
 ((تابع چند ضابطه ای)) ((تابع چند ضابطه ای))
 ((دامنه توابع )) ((دامنه توابع ))
 ((برد توابع))  ((برد توابع))
 ((تابع ثابت)) ((تابع ثابت))
 ((تابع علامت)) ((تابع علامت))
 ((تابع زوج و فرد)) ((تابع زوج و فرد))
 ((تابع دیریکله)) ((تابع دیریکله))
 ((اعمال جبری روی توابع))  ((اعمال جبری روی توابع))
 ((تابع یک به یک))  ((تابع یک به یک))
 ((تابع پوشا))  ((تابع پوشا))
 ((تابع دو سویی)) ((تابع دو سویی))
 ((ترکیب توابع))  ((ترکیب توابع))
 ((توابع زوج و فرد)) ((توابع زوج و فرد))
 ((تابع وارون))  ((تابع وارون))
 ((توابع مثلثاتی))  ((توابع مثلثاتی))
 ((تابع متناوب))  ((تابع متناوب))
 ((توابع وارون مثلثاتی))  ((توابع وارون مثلثاتی))
 ((توابع هایپربولیک))  ((توابع هایپربولیک))
 ((توابع پله‌ای))  ((توابع پله‌ای))
 ((توابع پیوسته))  ((توابع پیوسته))
 ((توابع تحلیلی))  ((توابع تحلیلی))
 ((توابع گسسته))  ((توابع گسسته))
 ((مشتق توابع))  ((مشتق توابع))
 ((حساب دیفرانسیل و انتگرال))  ((حساب دیفرانسیل و انتگرال))

تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 دوشنبه 19 تیر 1385 [12:36 ]   2   مرادی فر      جاری 
 چهارشنبه 14 تیر 1385 [06:21 ]   1   مرادی فر      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..