منو
 کاربر Online
470 کاربر online
تاریخچه ی: اصل استقراء ریاضی

نگارش: 3

اصل استقراء ریاضی
طبق این اصل داریم:
اگر S مجموعه ای ناتهی باشد آنگاه با دو شرط زیر با مجموعه اعداد طبیعی(N) برابر خواهد بود:
1)یک عضو این مجموعه باشد
2)به ازای تمام اعداد طبیعی n واقع بر مجموعه S ، n+1 نیز عضو آن مجموعه باشد.
از این اصل برای اثبات برخی از فرمولی های ریاضیات در زمینه اعداد گسسته و طبیعی استفاده می شود.
لازم به توضیح است این اصل با پذیرش اصل خوشترتیبی قابل اثبات است.

برهان: برای اثبات از برهان خلف کمک می گیریم. به برهان خلف فرض می کنیم با مفروضات فوق مجموعه S برابر مجموعه اعداد طبیعی نباشد. پس مجموعه ای چون T وجود دارد که S=N-T. حال داریم: مجموعه T زیر مجموعه اعداد طبیعی است و ناتهی است(چرا؟) پس بنا بر اصل خوشترتیبی T دارا عضو مینیمم است چون واضح است که و چون پس داریم: و چون برابر مینیمم مجموعه T است پس و لذا از شرط دوم مجموعه S داریم:
که این تناقض است چون پس فرض خلف باطل و حکم(اصل اسقرا) برقرار است.

اصل استقرای ریاضی به سه اصل تقسیم می شود:

اصل استقرای معمولی یا ضعیف:

مطابق این اصل اگر (P(n حکمی برای مجموعه ای از اعداد طبیعی باشد، و P برای n=1 درست باشد و از درستی (P(k (فرض استقراء) بتوانیم به درستی (P(k+1 برسیم. در این صورت به این نتیجه می رسیم که که حکم (P(n برای تمام اعدا طبیعی درست است.

اصل استقرای قوی ریاضی:

این اصل بیان میکند اگر S زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی باشد به گونه ای که:
1)
2) اگر اعداد طبیعی کوچکتر از n عضو S باشند انگاه بتوان نتیجه گرفت n هم عضوی از S است
می توان گفت مجموعه S همان مجموعه اعداد طبیعی است.

اصل استقرای تعمیم یافته:

پیوست مربوطه:




تاریخ شماره نسخه کاربر توضیح اقدام
 چهارشنبه 24 خرداد 1385 [05:39 ]   5   مرادی فر      جاری 
 شنبه 30 اردیبهشت 1385 [03:35 ]   4   مرادی فر      v  c  d  s 
 شنبه 23 اردیبهشت 1385 [03:43 ]   3   مرادی فر      v  c  d  s 
 دوشنبه 08 فروردین 1384 [20:49 ]   2   احمد شکیب      v  c  d  s 
 دوشنبه 08 فروردین 1384 [20:35 ]   1   احمد شکیب      v  c  d  s 


ارسال توضیح جدید
الزامی
big grin confused جالب cry eek evil فریاد اخم خبر lol عصبانی mr green خنثی سوال razz redface rolleyes غمگین smile surprised twisted چشمک arrow



از پیوند [http://www.foo.com] یا [http://www.foo.com|شرح] برای پیوندها.
برچسب های HTML در داخل توضیحات مجاز نیستند و تمام نوشته ها ی بین علامت های > و < حذف خواهند شد..